Calcule as integrais definidas:
integral1^2 1x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
integral1^2 1x ln x , dx
Aqui, estamos lidando com integrais definidas dentro do Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita a integração de funções complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: 1x ln x. Para integrar isso, uma boa estratégia é usar a substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.
Vamos definir:
u = ln x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du em termos de dx. Derivando ambos os lados da equação u = ln x em relação a x:
dudx = 1x implies du = 1x dx
Isso nos permite substituir parte da nossa integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u e du:
integral 1x ln x dx = integral 1u cdot du
Agora, a integral ficou bem mais simples: integral 1u du.

Passo 5

Integrando 1u em relação a u:
integral 1u du = ln |u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original x substituindo u = ln x:
ln |u| + C = ln |ln x| + C
Então, a antiderivada de 1x ln x é ln |ln x| + C.

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração:
[ ln |ln x| ]1^2 = ln (ln 2) - ln (ln 1)

Passo 8

Agora, vamos calcular cada termo:
  • ln 2 é um número positivo, então ln (ln 2) está bem definido.
  • ln 1 = 0, então temos ln (ln 1) = ln 0, o que não é definido porque o logaritmo de zero tende a menos infinito.

Passo 9

Como ln (ln 1) tende a -infty, a expressão completa fica:
ln (ln 2) - (-infty) = ln (ln 2) + infty = infty
Isso significa que a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral definida integral1^2 1x ln x , dx é divergente, ou seja, não possui um valor finito.

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