Calcule as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com integrais definidas dentro do Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita a integração de funções complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Para integrar isso, uma boa estratégia é usar a substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
em relação a
:
Isso nos permite substituir parte da nossa integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
e
:
Agora, a integral ficou bem mais simples:
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original
substituindo
:
Então, a antiderivada de
é
.
Passo 7
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada termo:
-
é um número positivo, então está bem definido. -
, então temos , o que não é definido porque o logaritmo de zero tende a menos infinito.
Passo 9
Como
tende a
, a expressão completa fica:
Isso significa que a integral não converge para um valor finito.
Resposta
A integral definida
é divergente, ou seja, não possui um valor finito.