Questão 2. Determine uma função f tal que F=nabla f. Posteriormente, calcule a integral de linha sobre a curva C utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
F(x, y)=(1+x y) e^x y i+x^2 e^x y j, C: r(t)=cos (t) i+2 sin (t) j, 0 <= t <= pi / 2 Resp: -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função $ f $ tal que o campo vetorial $ F $ seja o gradiente dessa função, ou seja, $ F = \nabla f $. Depois disso, vamos calcular a integral de linha sobre a curva $ C $ usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes, campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ F = \nabla f $. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
F = nabla f
Então, queremos encontrar $ f(x, y) $ tal que:
f(x, y)

Passo 3

Vamos começar encontrando $ f(x, y) $ integrando a componente de $ F $ em relação a $ x $. Ou seja:
f(x, y)
Para encontrar $ f $, integramos essa expressão em relação a $ x $:
F

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Podemos usar a substituição $ u = x y $, então $ du = y dx $, ou seja, $ dx = \frac{du}{y} $.
Substituindo na integral:
u = x y
A integral de $ (1 + u)e^{u} $ é $ (u) e^{u} $, então:
du = y dx
Substituindo $ u = x y $:
dx = duy

Passo 5

Agora, para determinar a função $ C(y) $, vamos usar a outra componente de $ F $, que é:
C(y)
Calculando a derivada de $ f(x, y) = x e^{x y} + C(y) $ em relação a $ y $:
F
Igualando às componentes de $ F $:
partial fpartial y = x^2 e^x y
Isso implica que $ C’(y) = 0 $, ou seja, $ C(y) $ é uma constante. Podemos tomar $ C(y) = 0 $ para simplificar.
Então, a função $ f $ é:
f(x, y) = x e^x y + C(y)

Passo 6

Agora que temos a função $ f(x, y) = x e^{x y} $, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que para um campo conservativo $ F = \nabla f $, a integral de linha de $ F $ ao longo de uma curva $ C $ de um ponto $ A $ a um ponto $ B $ é simplesmente:
f(x, y) = x e^x y

Passo 7

Vamos identificar os pontos inicial e final da curva $ C $. A curva é dada por:
C
Quando $ t = 0 $:
r(t) = cos(t) i + 2 sin(t) j, 0 <= t <= pi2
Quando $ t = \frac{\pi}{2} $:
t = 0
Então, o ponto inicial $ A $ é $ (1, 0) $ e o ponto final $ B $ é $ (0, 2) $.

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
integralC F cdot dr = f(B) - f(A) = f(0, 2) - f(1, 0)
Calculando $ f(0, 2) $:
f(0, 2)
Calculando $ f(1, 0) $:
f(0, 2) = 0 cdot e^0 cdot 2 = 0
Então:
f(1, 0)

Resposta

A integral de linha sobre a curva $ C $ é igual a C .

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