Questão 2. Determine uma função
tal que
. Posteriormente, calcule a integral de linha sobre a curva
utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Resp: -1
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função $ f $ tal que o campo vetorial $ F $ seja o gradiente dessa função, ou seja, $ F = \nabla f $. Depois disso, vamos calcular a integral de linha sobre a curva $ C $ usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes, campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ F = \nabla f $. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
Então, queremos encontrar $ f(x, y) $ tal que:
Passo 3
Vamos começar encontrando $ f(x, y) $ integrando a componente de $ F $ em relação a $ x $. Ou seja:
Para encontrar $ f $, integramos essa expressão em relação a $ x $:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Podemos usar a substituição $ u = x y $, então $ du = y dx $, ou seja, $ dx = \frac{du}{y} $.
Substituindo na integral:
A integral de $ (1 + u)e^{u} $ é $ (u) e^{u} $, então:
Substituindo $ u = x y $:
Passo 5
Agora, para determinar a função $ C(y) $, vamos usar a outra componente de $ F $, que é:
Calculando a derivada de $ f(x, y) = x e^{x y} + C(y) $ em relação a $ y $:
Igualando às componentes de $ F $:
Isso implica que $ C’(y) = 0 $, ou seja, $ C(y) $ é uma constante. Podemos tomar $ C(y) = 0 $ para simplificar.
Então, a função $ f $ é:
Passo 6
Agora que temos a função $ f(x, y) = x e^{x y} $, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que para um campo conservativo $ F = \nabla f $, a integral de linha de $ F $ ao longo de uma curva $ C $ de um ponto $ A $ a um ponto $ B $ é simplesmente:
Passo 7
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva $ C $. A curva é dada por:
Quando $ t = 0 $:
Quando $ t = \frac{\pi}{2} $:
Então, o ponto inicial $ A $ é $ (1, 0) $ e o ponto final $ B $ é $ (0, 2) $.
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
Calculando $ f(0, 2) $:
Calculando $ f(1, 0) $:
Então:
Resposta
A integral de linha sobre a curva $ C $ é igual a
.