Derive as funções:
y=ln (raiz[4]x^2+1(x^3-1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função:
y = ln ( raiz[4]x^2 + 1(x^3 - 1)^2 )
Isso está na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivação de funções compostas e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, a regra da cadeia e as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Lembrando que:
ln ( ab ) = ln a - ln b
Aplicando isso na nossa função:
y = ln ( raiz[4]x^2 + 1 ) - ln ( (x^3 - 1)^2 )

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais usando a propriedade:
ln (a^k) = k ln a
Aplicando isso aos termos:
y = 14 ln (x^2 + 1) - 2 ln (x^3 - 1)

Passo 4

Com a expressão simplificada, podemos derivar termo a termo. Sabemos que a derivada de ln u em relação a x é u'u, onde u é uma função de x. Vamos aplicar isso a cada termo.

Passo 5

Derivando o primeiro termo:
ddx ( 14 ln (x^2 + 1) ) = 14 cdot 2xx^2 + 1 = x2(x^2 + 1)
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de ln (x^2 + 1) é 2xx^2 + 1.

Passo 6

Derivando o segundo termo:
ddx ( -2 ln (x^3 - 1) ) = -2 cdot 3x^2x^3 - 1 = -6x^2x^3 - 1
Novamente, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de ln (x^3 - 1) é 3x^2x^3 - 1.

Passo 7

Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada total de y:
dydx = x2(x^2 + 1) - 6x^2x^3 - 1

Resposta

A derivada da função é:
dydx = x2(x^2 + 1) - 6x^2x^3 - 1

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