Calcule as integrais definidas:
integral1^6|x^2-7 x+10| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^6l|x^2-7x+10r|,dx
O conteúdo é integração de função com valor absoluto. Para resolver, vamos identificar as raízes da quadrática, dividir o intervalo de integração conforme o sinal da função e, em seguida, integrar cada parte sem o valor absoluto.

Passo 2

Encontramos as raízes da função f(x)=x^2-7x+10 resolvendo
x^2-7x+10=0 Longrightarrow (x-2)(x-5)=0,
logo as raízes são x=2 e x=5. Como o coeficiente de x^2 é positivo, f(x) é positiva em (-infty,2)cup(5,infty) e negativa em (2,5).

Passo 3

Com base nisso, dividimos a integral em três partes:
integral1^6l|f(x)r|,dx = integral1^2f(x),dx - integral2^5f(x),dx + integral5^6f(x),dx
Aqui em [1,2] e em [5,6] temos f(x)>=0, enquanto em [2,5] temos f(x)<=0, por isso o sinal menos na segunda integral.

Passo 4

Calculamos uma primitiva de f(x)=x^2-7x+10:
F(x)=integrall(x^2-7x+10r),dx =x^33-7x^22+10x
Agora avaliamos em cada intervalo:
  1. Em [1,2]:
integral1^2f(x),dx =F(2)-F(1) =l(83-14+20r) -l(13-72+10r) =116
  1. Em [2,5]:
integral2^5f(x),dx =F(5)-F(2) =l(1253-1752+50r) -l(83-14+20r) =-92
Como tiramos o valor absoluto, essa parte contribui com +92.
  1. Em [5,6]:
integral5^6f(x),dx =F(6)-F(5) =l(72-126+60r) -l(1253-1752+50r) =116

Passo 5

Somando as três contribuições com os sinais adequados:
116 ;+;92;+;116 =11+33+116 =556

Resposta

556

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