Dê exemplos de:
Sequência (an) tal que an in(-1,-35), forall n in N e an -1.

Passo 1

O enunciado quer uma sequência l(anr) com duas propriedades:
  1. Para todo ninN vale
-1 < an < -tfrac35,
  1. anto -1 quando ntoinfty.
    O conteúdo envolvido é definição de sequência e limite de sequência.

Passo 2

Uma construção clássica é pegar uma “parte positiva” que tende a zero e somá-la a -1. Por exemplo, defina
an = -1 + tfrac12,n+1,
Aqui 12 é um número fixo em (0,tfrac45) para garantir que todos os an fiquem abaixo de -tfrac35.

Passo 3

Verificação de intervalo e limite para an:
  • Como n+1>=2, tem 0 < tfrac12,n+1, <= tfrac122 = tfrac14, então -1 < -1 + tfrac12,n+1, <= -1 + tfrac14 = -tfrac34 < -tfrac35 Logo forall n, anin(-1,-tfrac35).
  • Como tfrac12,n+1,to0, segue ;anto -1.

Passo 4

Outra forma é usar uma parte que decai geometricamente. Por exemplo, defina
bn = -1 + 25,l(tfrac12r)^n

Passo 5

Verificação para bn:
  • Para todo n>=1 vale l(tfrac12r)^nin(0,1), logo 0 < 25,l(tfrac12r)^n < 25 Longrightarrow -1 < bn < -1 + tfrac25 = -tfrac35
  • Como l(tfrac12r)^nto0, segue ;bnto -1.

Resposta

Duas possíveis sequências são
an = -1 + tfrac12,n+1,, bn = -1 + 25,l(tfrac12r)^n,
ambas satisfazendo an,bnin(-1,-tfrac35) e convergindo para -1.

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