Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Toda sequência limitada é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda sequência limitada é convergente”. O conteúdo envolve as definições de sequência limitada e de sequência convergente, e precisamos decidir se a implicação
l(( (an) ) é limitadar) ;Longrightarrow; l(( (an) ) é conver>=nter) éé
é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Relembremos as definições:
– Dizemos que a sequência (an) é limitada se existe M>0 tal que para todo n,
|an|<= M
– Dizemos que (an) converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que, para todo n>= N,
|an - L| < varepsilon

Passo 3

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo clássico é
an = (-1)^n
  1. Essa sequência é limitada, pois para todo n temos
|an| = |(-1)^n| = 1 <= 1
  1. Suponha, por absurdo, que (an) convirja para algum L. Escolha varepsilon = tfrac12. Então existe N tal que, para todo n>= N,
|an - L| < tfrac12
  1. Mas para n par vem an = 1 e para n ímpar vem an = -1.
    – Se L<= 0, então para qualquer n>= N par, |an - L| = |1 - L|>= 1 - L >= 1 > tfrac12, contradizendo |an - L|<tfrac12.
    – Se L>= 0, então para qualquer n>= N ímpar, |an - L| = |-1 - L|>= 1 + L >= 1 > tfrac12, também uma contradição.
Portanto não existe L que seja limite de (an), ou seja, (an) não converge apesar de ser limitada.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é an = (-1)^n, que é limitada porém não convergente.

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