Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Toda sequência limitada é convergente.
Toda sequência limitada é convergente.
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda sequência limitada é convergente”. O conteúdo envolve as definições de sequência limitada e de sequência convergente, e precisamos decidir se a implicação
é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Relembremos as definições:
– Dizemos que a sequência é limitada se existe
tal que para todo
,
– Dizemos que a sequência
– Dizemos que
converge para
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
Passo 3
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo clássico é
- Essa sequência é limitada, pois para todo
temos
- Suponha, por absurdo, que
convirja para algum . Escolha . Então existe tal que, para todo ,
- Mas para
par vem e para ímpar vem .
– Se, então para qualquer par, contradizendo .
– Se, então para qualquer ímpar, também uma contradição.
Portanto não existe
que seja limite de
, ou seja,
não converge apesar de ser limitada.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
, que é limitada porém não convergente.