Calcule as integrais definidas (Da lista 9.1 do livro do Leithold).
integral0^2 x e^2 x d x

Passo 1

Temos a integral definida $ \int_{0}^{2} x e^{2x} , dx $. O conteúdo que vamos usar é integração por partes e a fórmula da integral de exponenciais: $ \int u , dv = u v - \int v , du $ e $ \int e^{a x} , dx = \frac{e^{a x}}{a} $.

Passo 2

Na técnica de integração por partes, escolhemos u = x e dv = e^2x , dx. Assim, derivamos e integramos para achar du e v.
Derivando u = x, temos du = dx. Integrando dv = e^2x , dx, usamos a fórmula de exponencial para obter v = e^2x2.

Passo 3

Substituindo em $ \int u , dv = u v - \int v , du $, ficamos com a integral indefinida:
integral u , dv = u v - integral v , du .
Calculando a última integral, chegamos a
.

Passo 4

Para a integral definida, avaliamos de 0 a 2: substituindo x=2 e x=0 em $ \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} $, obtemos em x e^2x2 - e^2x4 o valor
x=2
e em x=0 o valor

Subtraindo, a integral definida vale

Resposta

$ \displaystyle \frac{3 e^{4} + 1}{4} $

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