Calcule as integrais definidas (Da lista 9.1 do livro do Leithold).
Passo 1
Temos a integral definida $ \int_{0}^{2} x e^{2x} , dx $. O conteúdo que vamos usar é integração por partes e a fórmula da integral de exponenciais: $ \int u , dv = u v - \int v , du $ e $ \int e^{a x} , dx = \frac{e^{a x}}{a} $.
Passo 2
Na técnica de integração por partes, escolhemos
e
. Assim, derivamos e integramos para achar
e
.
Derivando , temos
. Integrando
, usamos a fórmula de exponencial para obter
.
Derivando
Passo 3
Substituindo em $ \int u , dv = u v - \int v , du $, ficamos com a integral indefinida:
.
Calculando a última integral, chegamos a
.
Calculando a última integral, chegamos a
Passo 4
Para a integral definida, avaliamos de 0 a 2: substituindo
e
em $ \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} $, obtemos em
o valor
e em o valor
Subtraindo, a integral definida vale
e em
Subtraindo, a integral definida vale
Resposta
$ \displaystyle \frac{3 e^{4} + 1}{4} $