Determine os limites de integração a, b no lado direito de modo que a igualdade abaixo esteja correta. Justifique!
integral1^e e^(2+ln t)^2t d t=integrala^b e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa integral de 1 até e de e^(2+ln t)^2t dt e queremos igualar isso a outra integral de a até b de e^x^2 dx. A matéria aqui envolve troca de variável ou substituição para facilitar o cálculo de integrais. Vamos precisar identificar uma relação entre t e x que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para o expoente (2 + ln t)^2, parece uma boa ideia definir:
x = 2 + ln t
Isso vai ajudar a transformar a integral em termos de x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar como dx se relaciona com dt. Diferenciando ambos os lados da equação x = 2 + ln t em relação a t, temos:
dx = 1t dt
Isso significa que dtt = dx, ou seja, 1t dt = dx.

Passo 4

Vamos substituir na integral original. A expressão e^(2+ln t)^2t dt fica:
e^x^2 dx
Então, a integral original se transforma em:
integral1^e e^(2+ln t)^2t dt = integrala^b e^x^2 dx
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os novos valores de x.

Passo 5

Vamos verificar os novos limites:
  • Quando t = 1:
    x = 2 + ln 1 = 2 + 0 = 2
  • Quando t = e:
    x = 2 + ln e = 2 + 1 = 3

Resposta

Portanto, os limites de integração são a = 2 e b = 3.

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