Calcule as integrais definidas listadas abaixo.
int_{10}^{\pi / 2} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x d x. Resposta 1/3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2} \sin x\,\cos^{2}x\,dx
(observando que, para obter o resultado indicado de 1/3, o limite inferior deve ser 0 em vez de 10). O conteúdo usado será o método de substituição para integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos x
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du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.
Assim a integral torna-se
\int \sin x\,\cos^{2}x\,dx = \int u^{2}\;(-du) = -\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{\cos^{3}x}{3} + C.

Passo 3

Agora avaliamos o antiderivado nos limites de 0 a \pi/2:
\left[-\frac{\cos^{3}x}{3}\right]_{0}^{\pi/2} = \Bigl(-\frac{\cos^{3}(\pi/2)}{3}\Bigr) - \Bigl(-\frac{\cos^{3}(0)}{3}\Bigr) = \bigl(0\bigr) - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{1}{3}.

Resposta

\frac{1}{3}

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