Calcule as integrais definidas listadas abaixo.
int_{10}^{\pi / 2} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x d x. Resposta 1/3.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{10}^{\pi/2}\operatorname{sen} x\cos^2 x\,dx
porém a resposta indicada \tfrac13 só faz sentido se o limite inferior for 0. Assim, vamos resolver
I=\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} x\cos^2 x\,dx,
usando o método de substituição.

Passo 2

Fazendo a substituição
u=\cos x,
temos
du=-\operatorname{sen} x\,dx
e portanto
\operatorname{sen} x\,dx=-du.

Passo 3

Em função de u, o integrando fica
\operatorname{sen} x\cos^2 x\,dx =\cos^2 x\,( \operatorname{sen} x\,dx) =u^2(-du) =-u^2\,du.
Os novos limites são x=0\implies u=\cos0=1 e x=\pi/2\implies u=\cos(\pi/2)=0. Logo
I=\int_{u=1}^{u=0}(-u^2)\,du.

Passo 4

Invertemos os limites para remover o sinal negativo:
I=\int_{0}^{1}u^2\,du.
Agora integramos:
\int u^2\,du=\frac{u^3}{3}+C,
logo
I=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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