DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int e^{-x} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da integral
\int e^{-x}\operatorname{sen} x\,dx.
O conteúdo aqui é usar integração por partes duas vezes ou lembrar da fórmula geral para \displaystyle \int e^{ax}\operatorname{sen}(bx)\,dx. Vamos fazer por partes para deixar claro.

Passo 2

Aplicamos integração por partes à integral \displaystyle I=\int e^{-x}\operatorname{sen} x\,dx
escolhendo
u = \operatorname{sen} x,\quad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = \cos x\,dx, \qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Logo,
I = uv - \int v\,du = -e^{-x}\operatorname{sen} x - \int(-e^{-x}\cos x)\,dx = -e^{-x}\operatorname{sen} x + \int e^{-x}\cos x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle J=\int e^{-x}\cos x\,dx
também por partes, escolhendo
u = \cos x,\quad dv = e^{-x}\,dx,
que dá
du = -\operatorname{sen} x\,dx, \qquad v = -e^{-x}.
Assim,
J = uv - \int v\,du = -e^{-x}\cos x - \int(-e^{-x})(-\,\operatorname{sen} x)\,dx = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Substituindo J de volta em I, temos
I = -e^{-x}\operatorname{sen} x + J = -e^{-x}\operatorname{sen} x - e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\operatorname{sen} x\,dx = -e^{-x}(\operatorname{sen} x + \cos x) - I.
Reagrupando termos,
I + I = -e^{-x}(\operatorname{sen} x + \cos x) \quad\Longrightarrow\quad 2I = -e^{-x}(\operatorname{sen} x + \cos x) \quad\Longrightarrow\quad I = -\frac{e^{-x}}{2}(\operatorname{sen} x + \cos x) + C.

Resposta

A primitiva geral é
-\tfrac{e^{-x}}{2}\bigl(\operatorname{sen} x + \cos x\bigr) + C.

Exercícios relacionados