DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int_{0}^{\pi} e^{\operatorname{sen} x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} e^{\sin x}\,\cos x\,dx
Este é um caso clássico de substituição simples (integração por mudança de variável).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x \quad\Longrightarrow\quad du = \cos x\,dx.
Assim a integral indefinida fica
\int e^{\sin x}\,\cos x\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + C = e^{\sin x} + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tomamos
F(x) = e^{\sin x}
e obtemos
\int_{0}^{\pi} e^{\sin x}\,\cos x\,dx = F(\pi) - F(0) = e^{\sin\pi} - e^{\sin0} = e^{0} - e^{0} = 1 - 1 = 0.

Resposta

0

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