Calcule as integrais definidas das seguintes funções vetoriais:
integral(sec ^2 t i+t(t^2+1)^3 j+t^2 ln t k) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função vetorial
F(t)=sec^2 t,i+t,(t^2+1)^3,j+t^2ln t,k.
Para resolver, basta integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Para a componente i temos
integral sec^2 t,dt = tan t + C1

Passo 3

Para a componente j usamos a substituição
u = t^2+1, du = 2t,dt
Então
integral t,(t^2+1)^3,dt = 12integral u^3,du = 18u^4 + C2 = (t^2+1)^48 + C2

Passo 4

Para a componente k aplicamos integração por partes com
u = ln t, dv = t^2,dt Longrightarrow du = dtt,;v = t^33
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integral t^2ln t,dt = t^33ln t - integral t^33,dtt = t^33ln t - 13integral t^2,dt = t^33ln t - t^39 + C3

Passo 5

Reunindo tudo e absorvendo C1,C2,C3 num único vetor constante C, obtemos
integral F(t),dt = tan t,i + (t^2+1)^48,j + l(t^33ln t - t^39r),k + C

Resposta

integral l(sec^2 t,i+t,(t^2+1)^3,j+t^2ln t,kr),dt = tan t,i + (t^2+1)^48,j + l(t^33ln t - t^39r),k + C

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