Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial
. Nos problemas de 1 a 4, faça os passos descritos a seguir. Considere
nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento
para a posição inicial
dada.
(b) Faça o gráfico de
em função de
para
para diversos valores de
entre
.
(c) Faça o gráfico de
em função de
para
e para diversos valores de
.
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
(a) Encontre o deslocamento
(b) Faça o gráfico de
(c) Faça o gráfico de
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda numa corda de comprimento
com extremos fixos em
e
. Temos condição inicial de deslocamento
e velocidade inicial nula, isto é,
O método que vamos usar é a expansão em autofunções (seno), pois esses satisfazem a condição de contorno
. Precisamos encontrar os coeficientes da série de Fourier de
em senos para montar
Passo 2
Escrevemos a solução geral pela expansão em autofunções:
onde, pelos dados iniciais,
Passo 3
Agora usamos
. Defina
. Calcula-se
e, por álgebra (ver detalhes em notas de cálculo por partes), chega-se a
Logo
Portanto, a solução fica
Passo 4
Para plotar
em função de
no intervalo
para vários instantes
(com
e
), proceda assim:
. Escolha um número de termos
grande (por exemplo
) para aproximar a série.
. Para cada valor de
(por exemplo
), compute numericamente
em uma malha de
.
. Use software (Python/Matlab) para traçar em cada
a curva
.
Passo 5
Para plotar
em função de
no intervalo
para vários
fixos:
. Escolha alguns pontos
(por exemplo
).
. Em cada ponto, compute
usando a mesma soma de antes para
termos.
. Plote todas as curvas numa mesma figura para comparar as oscilações em função do tempo.
Passo 6
Para fazer a animação da corda:
. Fixe um vetor de tempos
bem distribuídos em
, onde
é o período fundamental. Como
e
,
.
. Para cada
, plote
vs.\
.
. Use a rotina de animação do seu ambiente (por exemplo avança.
FuncAnimation
no Matplotlib) para atualizar a curva conforme
Passo 7
O movimento resultante é uma onda estacionária: cada modo
oscila com frequência
. A superposição dos modos dada pela série acima preserva os nós em
e
. A corda vibra em padrões simétricos, deformando-se de acordo com
inicialmente e depois retornando periodicamente à forma espelhada.
Resposta
O gráfico de
em função de
mostra o perfil da corda nos instantes escolhidos; o gráfico em função de
para
fixos mostra oscilações harmônicas; e a animação revela a onda estacionária de período
.