Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Nos problemas de 1 a 4, faça os passos descritos a seguir. Considere L=10 e a=1 nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento u(x, t) para a posição inicial f(x) dada.
(b) Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para 0 <= x <= 10 e para diversos valores de t entre t=0 e t=20.
(c) Faça o gráfico de u(x, t) em função de t para 0 <= t <= 20 e para diversos valores de x.
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
f(x)=8 x(L-x)^2 / L^3

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda numa corda de comprimento L com extremos fixos em x=0 e x=L. Temos condição inicial de deslocamento
u(x,0)=f(x)
e velocidade inicial nula, isto é,
ut(x,0)=0
O método que vamos usar é a expansão em autofunções (seno), pois esses satisfazem a condição de contorno u(0,t)=u(L,t)=0. Precisamos encontrar os coeficientes da série de Fourier de f(x) em senos para montar
u(x,t)=sumn=1^inftybnsin!l(tfracnpi xLr)cos!l(tfracnpi a,tLr)

Passo 2

Escrevemos a solução geral pela expansão em autofunções:
u(x,t)=sumn=1^inftybnsin!l(tfracnpi xLr)cos!l(tfracnpi a,tLr),
onde, pelos dados iniciais,
bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Agora usamos . Defina . Calcula-se
e, por álgebra (ver detalhes em notas de cálculo por partes), chega-se a
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Portanto, a solução fica

Passo 4

Para plotar u(x,t) em função de x no intervalo 0<= x<= L para vários instantes tin[0,20] (com L=10 e a=1), proceda assim:
1. Escolha um número de termos N grande (por exemplo N=50) para aproximar a série.
2. Para cada valor de t (por exemplo t=0,5,10,15,20), compute numericamente
uN(x,t)=sumn=1^N32[(-1)^n+2]n^3pi^3, sin!l(tfracnpi x10r), cos!l(tfracnpi,t10r)
em uma malha de x.
3. Use software (Python/Matlab) para traçar em cada t a curva xmapsto uN(x,t).

Passo 5

Para plotar u(x,t) em função de t no intervalo 0<= t<=20 para vários x fixos:
1. Escolha alguns pontos x (por exemplo x=2,,5,,8).
2. Em cada ponto, compute
tmapsto uN(x,t)
usando a mesma soma de antes para N termos.
3. Plote todas as curvas numa mesma figura para comparar as oscilações em função do tempo.

Passo 6

Para fazer a animação da corda:
1. Fixe um vetor de tempos tk bem distribuídos em [0,,T], onde T é o período fundamental. Como a=1 e L=10, T=2L/a=20.
2. Para cada tk, plote uN(x,tk) vs.\ x.
3. Use a rotina de animação do seu ambiente (por exemplo FuncAnimation no Matplotlib) para atualizar a curva conforme tk avança.

Passo 7

O movimento resultante é uma onda estacionária: cada modo n oscila com frequência omegan=npi a/L. A superposição dos modos dada pela série acima preserva os nós em x=0 e x=10. A corda vibra em padrões simétricos, deformando-se de acordo com f(x) inicialmente e depois retornando periodicamente à forma espelhada.

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty32l[(-1)^n+2r]n^3pi^3 sin!l(npi xLr) cos!l(npi a,tLr), L=10,;a=1
O gráfico de u(x,t) em função de x mostra o perfil da corda nos instantes escolhidos; o gráfico em função de t para x fixos mostra oscilações harmônicas; e a animação revela a onda estacionária de período T=20.

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