Calcule as integrais definidas das seguintes funções vetoriais:
integral(t e^2 t i+t1-t j+1raiz1-t^2 k) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função vetorial
f(t)=t e^2t,i ;+;t1-t,j;+;1raiz1-t^2,k
O conteúdo necessário é:
  1. integração por partes para integral t e^2tdt,
  2. decomposição de fração para integral t1-tdt,
  3. reconhecimento de integral 1raiz1-t^2dt=arcsin(t).

Passo 2

Para a componente i, usamos integração por partes em integral t e^2tdt. Escolhendo
u = t, dv = e^2tdt,
temos
du = dt, v = 12e^2t
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos
integral t e^2tdt = tcdot12e^2t ;-;integral 12e^2tdt = 12t e^2t - 14e^2t

Passo 3

Para a componente j, escrevemos
t1-t = -1 + 11-t
Logo
integral t1-tdt = integral l(-1r)dt + integral 11-tdt = -t - integral d(1-t)1-t = -t - lnl|1-tr|

Passo 4

Para a componente k, reconhecemos a integral padrão
integral 1raiz1-t^2dt = arcsin(t)

Passo 5

Reunindo as três componentes e adicionando a constante de integração vetorial C, a primitiva é
F(t) =l(tfrac12t e^2t-tfrac14e^2tr)i +l(-t - ln|1-t|r)j + arcsin(t),k +C

Resposta

boxed integral l(t e^2t,i+tfract1-t,j+tfrac1raiz1-t^2,kr)dt = l(tfrac12t e^2t-tfrac14e^2tr)i +l(-t - ln|1-t|r)j + arcsin(t),k +C

Exercícios relacionados