Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral definida de 0 até 1 de (x^{2} + \sqrt{x}). A matéria necessária é a regra de potência para integrais, lembrando que \sqrt{x} = x^{1/2} e que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).

Passo 2

Primeiro, separamos em duas integrais:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx.
Calculando a primeira:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-0 = \frac{1}{3}.

Passo 3

Agora a segunda:
\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx = \left[\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0\bigr) = \frac{2}{3}.

Passo 4

Basta somar os dois resultados parciais:
\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.

Resposta

1

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