Diga se cada uma das igualdades a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
a \int(2 x+1)^{2} d x=\frac{(2 x+1)^{3}}{3}+C
c \int \sqrt{2 x+1} d x=\sqrt{x^{2}+x+C}
b \int 3(2 x+1)^{2} d x=(2 x+1)^{3}+C
d \int \sqrt{2 x+1} d x=\sqrt{x^{2}+x}+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada uma das igualdades envolvendo integrais indefinidas é verdadeira ou falsa. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais do tipo \int (2x+1)^n\,dx e o cálculo de derivadas para testar propostas de primitivas.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=2x+1, daí du=2\,dx ou dx=\tfrac{du}{2}. Para
\int(2x+1)^{2}\,dx
temos
\int u^{2}\,\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\,\frac{u^{3}}{3}+C=\frac{(2x+1)^{3}}{6}+C.
A proposta era \tfrac{(2x+1)^{3}}{3}+C, que difere de \tfrac{(2x+1)^{3}}{6}+C. Logo essa igualdade é falsa.

Passo 3

Ainda com u=2x+1 e dx=\tfrac{du}{2}, para
\int 3(2x+1)^{2}\,dx
temos
3\int u^{2}\,\frac{du}{2}=\frac{3}{2}\,\frac{u^{3}}{3}+C=\frac{(2x+1)^{3}}{2}+C.
A proposta era (2x+1)^{3}+C, que difere de \tfrac{(2x+1)^{3}}{2}+C. Portanto é falsa.

Passo 4

Para
\int \sqrt{2x+1}\,dx
usamos de novo u=2x+1, dx=\tfrac{du}{2}, obtendo
\int u^{1/2}\,\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\,\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{u^{3/2}}{3}+C=\frac{(2x+1)^{3/2}}{3}+C.
A proposta (c) era \sqrt{x^{2}+x+C}, que não tem nenhuma relação com \tfrac{(2x+1)^{3/2}}{3}+C. Logo (c) é falsa.

Passo 5

Na proposta (d) sugere-se
\int \sqrt{2x+1}\,dx=\sqrt{x^{2}+x}+C.
Podemos checar derivando o lado direito:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^{2}+x}+C\bigr) =\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}},
que claramente não é \sqrt{2x+1}. Logo (d) também é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Falsa

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