Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\pi / 8} \sin 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/8} \sin 2x\,dx.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas, usando antiderivadas de \sin e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para integrar \sin 2x, lembramos que
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C.
Aqui a=2, logo uma antiderivada de \sin 2x é
F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\pi/8} \sin 2x\,dx = F\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) - F(0).
Calculamos
F\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) = -\tfrac{1}{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} = -\tfrac{\sqrt{2}}{4},
F(0) = -\tfrac{1}{2}\cos(0) = -\tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}.
Portanto,
\int_{0}^{\pi/8} \sin 2x\,dx = -\tfrac{\sqrt{2}}{4} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{2-\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\tfrac{2-\sqrt{2}}{4}

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