Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{4}\left(3 x-\frac{x^{3}}{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{0}^{4}\Bigl(3x-\frac{x^{3}}{4}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômios, em que aplicamos a regra de potência para encontrar a primitiva de cada termo.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) de f(x)=3x-\tfrac{x^{3}}{4}.
Para 3x, a primitiva é \tfrac{3}{2}x^{2}.
Para -\tfrac{x^{3}}{4}, a primitiva é -\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{x^{4}}{4}=-\tfrac{x^{4}}{16}.
Portanto,
F(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{x^{4}}{16}.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{4}\Bigl(3x-\frac{x^{3}}{4}\Bigr)\,dx =F(4)-F(0).
Calculando,
F(4)=\frac{3}{2}\cdot4^{2}-\frac{4^{4}}{16} =\frac{3}{2}\cdot16-\frac{256}{16} =24-16=8,
e F(0)=0. Logo o valor da integral é 8.

Resposta

8

Exercícios relacionados