Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{\pi / 2}^{0} \frac{1+\cos 2 t}{2} d t
\int_{\pi / 2}^{0} \frac{1+\cos 2 t}{2} d t
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A pergunta é obter o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Observação útil (identidade trigonométrica): existe a relação entre cosseno ao quadrado e cosseno do triplo ângulo duplo. A identidade de redução de potência é
Essa identidade vem de
, isolando
. Então a integranda dada é exatamente
. Isso nos dá uma forma mais simples de pensar na integral:
Passo 3
Usamos a linearidade da integral (podemos integrar soma termo a termo e fator constante pode sair da integral). Reescrevendo a integranda em termos de soma:
Logo a integral se torna
Aqui usamos que
e que constantes podem ser colocadas fora da integral.
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
- A primeira é direta:
- Para a segunda, usamos a regra de substituição para integrais do tipo
. Em geral, para constante vale
porque derivando
aparece o fator
que cancela. Aplicando com
,
Portanto, a integral definida é
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 5
Agora juntamos os resultados com os fatores
que estavam fora:
Alternativamente, podia-se encontrar uma primitiva diretamente: uma primitiva de
é
, e avaliando entre
e
dá também
.