Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{\pi / 2}^{0} \frac{1+\cos 2 t}{2} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\pi/2}^{0} \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \dfrac{1+\cos 2t}{2}.
  • Os limites de integração são t=\pi/2 (limite inferior) e t=0 (limite superior).
  • A pergunta é obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Observação útil (identidade trigonométrica): existe a relação entre cosseno ao quadrado e cosseno do triplo ângulo duplo. A identidade de redução de potência é
\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}.
Essa identidade vem de \cos 2t = 2\cos^2 t - 1, isolando \cos^2 t. Então a integranda dada é exatamente \cos^2 t. Isso nos dá uma forma mais simples de pensar na integral:
\frac{1+\cos 2t}{2} = \cos^2 t.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral (podemos integrar soma termo a termo e fator constante pode sair da integral). Reescrevendo a integranda em termos de soma:
\frac{1+\cos 2t}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2t.
Logo a integral se torna
\int_{\pi/2}^{0}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2t\right)dt = \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{0} dt + \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{0}\cos 2t\,dt.
Aqui usamos que \int (a+b)\,dt=\int a\,dt+\int b\,dt e que constantes podem ser colocadas fora da integral.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. A primeira é direta:
\int_{\pi/2}^{0} dt = \left[t\right]_{\pi/2}^{0} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}.
  1. Para a segunda, usamos a regra de substituição para integrais do tipo \int \cos(k t)\,dt. Em geral, para k constante vale
\int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t)+C,
porque derivando \sin(k t) aparece o fator k que cancela. Aplicando com k=2,
\int \cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\sin 2t + C.
Portanto, a integral definida é
\int_{\pi/2}^{0}\cos 2t\,dt = \left[\frac{1}{2}\sin 2t\right]_{\pi/2}^{0} = \frac{1}{2}\sin 0 - \frac{1}{2}\sin(\pi).
Sabendo que \sin 0=0 e \sin\pi=0, obtemos
\int_{\pi/2}^{0}\cos 2t\,dt = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Agora juntamos os resultados com os fatores 1/2 que estavam fora:
\frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{0} dt + \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{0}\cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\cdot 0 = -\frac{\pi}{4}.
Alternativamente, podia-se encontrar uma primitiva diretamente: uma primitiva de \frac{1+\cos 2t}{2} é \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t, e avaliando entre \pi/2 e 0 dá também 0-(\pi/4)= -\pi/4.

Resposta

-\dfrac{\pi}{4}

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