Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{2} x(x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x(x-3)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função f(x)=x(x-3).
  • Os limites de integração são a=0 e b=2.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

O que significa calcular uma integral definida? De forma intuitiva, \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área algébrica sob a curva y=f(x) entre x=a e x=b: áreas acima do eixo x contam positivas e abaixo contam negativas. Para calcular efetivamente usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto precisamos encontrar uma primitiva F de f(x)=x(x-3) e depois avaliar F em 2 e em 0.

Passo 3

Antes de integrar, simplificamos o integrando desenvolvendo o produto:
x(x-3)=x^2-3x.
Isso facilita porque sabemos integrar polinômios termo a termo.

Passo 4

Regra de integração para potências (regra do “power rule”): para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Também vale a linearidade: \int (af(x)+bg(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx. Vamos aplicar essas regras a cada termo de x^2-3x.

Passo 5

Encontrando uma primitiva F de f:
\int (x^2-3x)\,dx = \int x^2\,dx - 3\int x\,dx.
Usando a regra do power rule:
\int x^2\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3} - 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2}.

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos F em b=2 e a=0:
\int_{0}^{2} x(x-3)\,dx = F(2)-F(0).
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-\frac{3\cdot 2^{2}}{2}=\frac{8}{3}-\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{8}{3}-\frac{12}{2}.
Como \dfrac{12}{2}=6=\dfrac{18}{3}, obtemos
F(2)=\frac{8}{3}-\frac{18}{3}=-\frac{10}{3}.
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0^{3}}{3}-\frac{3\cdot 0^{2}}{2}=0.
Portanto
\int_{0}^{2} x(x-3)\,dx = -\frac{10}{3}-0 = -\frac{10}{3}.

Passo 7

Pequena interpretação: o valor negativo indica que a área total da curva y=x(x-3) entre 0 e 2 está abaixo do eixo x (ou seja, a contribuição negativa é maior que a positiva nesse intervalo). Isso bate com a forma da parábola x^2-3x nesse intervalo.

Resposta

-\dfrac{10}{3}

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