Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{2} x(x-3) d x
\int_{0}^{2} x(x-3) d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é obter o valor numérico da integral definida.
Passo 2
O que significa calcular uma integral definida? De forma intuitiva,
representa a área algébrica sob a curva
entre
e
: áreas acima do eixo
contam positivas e abaixo contam negativas. Para calcular efetivamente usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então
Portanto precisamos encontrar uma primitiva
de
e depois avaliar
em
e em
.
Passo 3
Antes de integrar, simplificamos o integrando desenvolvendo o produto:
Isso facilita porque sabemos integrar polinômios termo a termo.
Passo 4
Regra de integração para potências (regra do “power rule”): para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração. Também vale a linearidade:
. Vamos aplicar essas regras a cada termo de
.
Passo 5
Encontrando uma primitiva
de
:
Usando a regra do power rule:
Logo uma primitiva é
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos
em
e
:
Calcule
:
Como
, obtemos
Calcule
:
Portanto
Passo 7
Pequena interpretação: o valor negativo indica que a área total da curva
entre
e
está abaixo do eixo
(ou seja, a contribuição negativa é maior que a positiva nesse intervalo). Isso bate com a forma da parábola
nesse intervalo.