Calcule as integrais definidas a seguir.
integralpi / 4^3 pi / 4 csc theta cot theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integralpi / 4^3 pi / 4 csc theta cot theta , dtheta. Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas básicas de integração das funções trig trigonométricas, especialmente das integrais de csc theta e cot theta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: csc theta cot theta. Sabemos que csc theta = 1sin theta e cot theta = cos thetasin theta, então podemos reescrever a função como:
csc theta cot theta = 1sin theta cdot cos thetasin theta = cos thetasin^2 theta

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra de integração para csc theta cot theta. A integral de csc theta cot theta em relação a theta é -csc theta + C, onde C é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante.

Passo 4

Aplicando a antiderivada que encontramos, podemos escrever:
integral csc theta cot theta , dtheta = -csc theta
Agora, vamos calcular essa antiderivada nos limites de integração, que são pi/4 e 3pi/4.

Passo 5

Primeiro, avaliamos a antiderivada em 3pi/4:
-csc(3pi4) = -1sin(3pi4)
Sabemos que sin(3pi4) = raiz22, então:
-1raiz22 = -2raiz2 = -raiz2

Passo 6

Agora, avaliamos a antiderivada em pi/4:
-csc(pi4) = -1sin(pi4)
Sabemos que sin(pi4) = raiz22, então:
-1raiz22 = -2raiz2 = -raiz2

Passo 7

Finalmente, subtraímos o valor na parte inferior dos limites pelo valor na parte superior:
-raiz2 - (-raiz2) = -raiz2 + raiz2 = 0

Resposta

A integral definida é igual a 0.

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