Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Caso não seja possível representar o número, justifique.
(100,0011)2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar o número binário (100,0011)2 nos sistemas de ponto flutuante F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Isso envolve entender sistemas de ponto flutuante, que são uma forma de representar números reais na computação usando uma base, um número significativo (ou mantissa) e um expoente. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Converter o número binário para decimal para facilitar a análise.
  2. Entender as especificações de cada sistema de ponto flutuante dado.
  3. Verificar se o número pode ser representado exatamente nesses sistemas ou, se não, justificar o porquê.

Passo 2

Primeiro, vamos converter (100,0011)2 para decimal. O número está na base 2, e a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária.
  • Parte inteira: 1002 = 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 0 times 2^0 = 4
  • Parte fracionária: 0.00112 = 0 times 2^-1 + 0 times 2^-2 + 1 times 2^-3 + 1 times 2^-4 = 0 + 0 + 0.125 + 0.0625 = 0.1875
Então, (100,0011)2 = 4 + 0.1875 = 4.1875 em decimal.

Passo 3

Agora, vamos verificar se 4.1875 pode ser representado no sistema F(10,4,-5,5).
Características do F(10,4,-5,5):
  • Base: 10
  • Número de dígitos significativos: 4
  • Expoente mínimo: -5
  • Expoente máximo: 5
Primeiro, precisamos escrever 4.1875 na forma normalizada desse sistema: S times 10^E, onde S tem até 4 dígitos significativos e E está entre -5 e 5.
4.1875 em notação científica é 4.1875 times 10^0. Como o número de dígitos significativos é 5 (4.1875), que ultrapassa o limite de 4, precisamos arredondar para 4 dígitos: 4.188 times 10^0.
Verificação:
  • Significativo: 4.188 (aceitável, arredondamos para caber nos 4 dígitos)
  • Expoente: 0 (dentro do intervalo permitido)
Portanto, 4.1875 pode ser representado como 4.188 times 10^0 no sistema F(10,4,-5,5).

Passo 4

Agora, vamos verificar se 4.1875 pode ser representado no sistema F(2,7,-3,3).
Características do F(2,7,-3,3):
  • Base: 2
  • Número de dígitos significativos: 7
  • Expoente mínimo: -3
  • Expoente máximo: 3
Primeiro, escrevemos 4.1875 na forma normalizada desse sistema: S times 2^E, onde S tem até 7 dígitos significativos binários e E está entre -3 e 3.
Vamos converter 4.1875 para binário:
  • 4 em binário é 1002.
  • 0.1875 em binário:
    • 0.1875 × 2 = 0.375 → 0
    • 0.375 × 2 = 0.75 → 0
    • 0.75 × 2 = 1.5 → 1
    • 0.5 × 2 = 1.0 → 1
      Então, 0.1875 = 0.0011_2
Portanto, 4.1875 em binário é 100.00112.
Normalizando: 1.000011 times 2^2
  • Significativo: 1.000011 (6 bits, dentro do limite de 7)
  • Expoente: 2 (dentro do intervalo permitido)
Portanto, 4.1875 pode ser representado exatamente como 1.000011 times 2^2 no sistema F(2,7,-3,3).

Resposta

O número (100,0011)2 (que é 4.1875 em decimal) pode ser representado exatamente em ambos os sistemas de ponto flutuante:
  • Em F(10,4,-5,5) como 4.188 times 10^0
  • Em F(2,7,-3,3) como 1.000011 times 2^2

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