Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante
e
. Caso não seja possível representar o número, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar o número binário
nos sistemas de ponto flutuante
e
. Isso envolve entender sistemas de ponto flutuante, que são uma forma de representar números reais na computação usando uma base, um número significativo (ou mantissa) e um expoente. Para resolver isso, vamos precisar:
- Converter o número binário para decimal para facilitar a análise.
- Entender as especificações de cada sistema de ponto flutuante dado.
- Verificar se o número pode ser representado exatamente nesses sistemas ou, se não, justificar o porquê.
Passo 2
Primeiro, vamos converter
para decimal. O número está na base 2, e a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária.
- Parte inteira:
- Parte fracionária:
Então,
em decimal.
Passo 3
Agora, vamos verificar se 4.1875 pode ser representado no sistema
.
Características do
:
- Base: 10
- Número de dígitos significativos: 4
- Expoente mínimo: -5
- Expoente máximo: 5
Primeiro, precisamos escrever 4.1875 na forma normalizada desse sistema:
, onde
tem até 4 dígitos significativos e
está entre -5 e 5.
4.1875 em notação científica é
. Como o número de dígitos significativos é 5 (4.1875), que ultrapassa o limite de 4, precisamos arredondar para 4 dígitos:
.
Verificação:
- Significativo: 4.188 (aceitável, arredondamos para caber nos 4 dígitos)
- Expoente: 0 (dentro do intervalo permitido)
Portanto, 4.1875 pode ser representado como
no sistema
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se 4.1875 pode ser representado no sistema
.
Características do
:
- Base: 2
- Número de dígitos significativos: 7
- Expoente mínimo: -3
- Expoente máximo: 3
Primeiro, escrevemos 4.1875 na forma normalizada desse sistema:
, onde
tem até 7 dígitos significativos binários e
está entre -3 e 3.
Vamos converter 4.1875 para binário:
- 4 em binário é
. - 0.1875 em binário:
- 0.1875 × 2 = 0.375 → 0
- 0.375 × 2 = 0.75 → 0
- 0.75 × 2 = 1.5 → 1
- 0.5 × 2 = 1.0 → 1
Então, 0.1875 = 0.0011_2
Portanto, 4.1875 em binário é
.
Normalizando:
- Significativo: 1.000011 (6 bits, dentro do limite de 7)
- Expoente: 2 (dentro do intervalo permitido)
Portanto, 4.1875 pode ser representado exatamente como
no sistema
.
Resposta
O número
(que é 4.1875 em decimal) pode ser representado exatamente em ambos os sistemas de ponto flutuante:
- Em
como - Em
como