Resolva a equação diferencial de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial de primeira ordem que é linear. Isso significa que ela pode ser escrita na forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um método chamado fator integrante. Vamos identificar os termos da equação e seguir os passos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
y' + y cot(x) = 4x^2 csc(x)
Aqui, conseguimos identificar:
  • $ P(x) = \cot(x) $
  • $ Q(x) = 4x^{2} \csc(x) $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = \cot(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral cot(x) , dx = ln|sin(x)| + C
Desconsiderando a constante $ C $ para o fator integrante, temos:
C

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = \sin(x) $:
mu(x) = sin(x)
Simplificando os termos:
sin(x)y' + sin(x)cot(x)y = 4x^2 sin(x) csc(x)

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $. Então, podemos escrever:
mu(x)y

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx [sin(x)y] , dx = integral 4x^2 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ \sin(x) $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 43x^3 csc(x) + C csc(x)

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