Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial de primeira ordem que é linear. Isso significa que ela pode ser escrita na forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um método chamado fator integrante. Vamos identificar os termos da equação e seguir os passos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui, conseguimos identificar:
- $ P(x) = \cot(x) $
- $ Q(x) = 4x^{2} \csc(x) $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo $ P(x) = \cot(x) $:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Desconsiderando a constante $ C $ para o fator integrante, temos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = \sin(x) $:
Simplificando os termos:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $. Então, podemos escrever:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ \sin(x) $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: