Diga se cada uma das igualdades a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
integral raiz2 x+1 d x=raizx^2+x+C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a igualdade:
integral raiz2x + 1 , dx = raizx^2 + x + C
O conteúdo aqui é integração, especificamente a integração de uma função com raiz quadrada. Para resolver, vamos calcular a integral do lado esquerdo e ver se ela realmente é igual ao lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral raiz2x + 1 , dx. Para isso, vamos usar uma substituição simples.
Seja u = 2x + 1. Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2, ou seja, dx = du/2.

Passo 3

Substituindo u na integral, temos:
integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Agora, sabemos que a integral de u^n é u^n+1n+1 mais a constante de integração C.

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:
12 cdot u^3/23/2 + C = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Substituindo u = 2x + 1 de volta, fica:
13 (2x + 1)^3/2 + C

Passo 5

Agora, vamos comparar com o lado direito da igualdade dada na questão:
raizx^2 + x + C
A expressão que encontramos para a integral é 13 (2x + 1)^3/2 + C, que não é igual a raizx^2 + x + C.

Resposta

A igualdade é falsa.

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