Calcule as integrais definidas a seguir utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi sen theta cos ^3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O enunciado pede para calcular:
integral0^pi sin theta cos^3 theta , dtheta
Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão, vemos que temos um produto de sin theta e cos^3 theta. Vamos deixar u = cos theta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du em termos de dtheta. Derivando u = cos theta em relação a theta, temos:
dudtheta = -sin theta implies du = -sin theta , dtheta
Isso significa que sin theta , dtheta = -du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral0^pi sin theta cos^3 theta , dtheta = integral0^pi cos^3 theta cdot sin theta , dtheta = integral u^3 (-du) = -integral u^3 , du
Simplificando o sinal negativo:
-integral u^3 , du = integral (-u^3) , du

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição u = cos theta:
  • Quando theta = 0, u = cos 0 = 1
  • Quando theta = pi, u = cos pi = -1
Então, a integral fica:
integralu=1^u=-1 (-u^3) , du
Podemos trocar os limites e retirar o sinal negativo:
integral-1^1 u^3 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u:
integral u^3 , du = u^44 + C
Como é uma integral definida, o termo constante C não é necessário.

Passo 7

Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de -1 a 1:
[ u^44 ]-1^1 = (1)^44 - (-1)^44 = 14 - 14 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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