Calcule as integrais definidas a seguir utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O enunciado pede para calcular:
Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão, vemos que temos um produto de
e
. Vamos deixar
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Isso significa que
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando o sinal negativo:
Passo 5
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição
:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Podemos trocar os limites e retirar o sinal negativo:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Como é uma integral definida, o termo constante
não é necessário.
Passo 7
Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.