Verifique por derivação que a fórmula está correta integral xraizx^2+4 d x=raizx^2+4+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, usando derivação, se a fórmula da integral integral xraizx^2+4 dx = raizx^2+4 + C está correta. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções e entender um pouquinho sobre integrais. Basicamente, vamos derivar a função do lado direito e ver se encontramos a função que está dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função que está do lado direito da igualdade: raizx^2 + 4 + C. Nossa meta é derivar essa função em relação a x.

Passo 3

Vamos derivar raizx^2 + 4. Lembrando que raizu = u^1/2, onde u = x^2 + 4. Usamos a regra da cadeia para derivar:
ddx raizx^2 + 4 = ddx (x^2 + 4)^1/2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
ddx (x^2 + 4)^1/2 = 12 (x^2 + 4)^-1/2 cdot ddx (x^2 + 4)

Passo 5

Agora, vamos derivar x^2 + 4 em relação a x:
ddx (x^2 + 4) = 2x

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
12 (x^2 + 4)^-1/2 cdot 2x = x cdot (x^2 + 4)^-1/2

Passo 7

Simplificando, fica:
xraizx^2 + 4

Passo 8

A derivada de raizx^2 + 4 + C é xraizx^2 + 4, que é exatamente a função que está dentro da integral original.

Resposta

A derivação confirma que integral xraizx^2+4 dx = raizx^2+4 + C está correta.

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