Calcule as integrais definidas a seguir utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^2 2+t^2t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 2+t^2t^3 , dt usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta derivadas e integrais, nos permitindo calcular integrais definidas encontrando uma antiderivada. Então, vamos precisar simplificar a expressão da integral e encontrar a antiderivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que estamos integrando: 2 + t^2t^3. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
2t^3 + t^2t^3 = 2t^-3 + t^-1

Passo 3

Agora que a função está simplificada para 2t^-3 + t^-1, vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente. Lembrando que a antiderivada de t^n é t^n+1n+1, desde que n neq -1.
Para 2t^-3:
integral 2t^-3 , dt = 2 cdot t^-2-2 = -t^-2
Para t^-1:
integral t^-1 , dt = ln|t|
Então, a antiderivada completa é:
- t^-2 + ln|t|

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
integrala^b f(t) , dt = F(b) - F(a)
Onde F(t) é a antiderivada de f(t).
Então, substituímos t = 2 e t = 1 na antiderivada encontrada:
Para t = 2:
- (2)^-2 + ln|2| = -14 + ln 2
Para t = 1:
- (1)^-2 + ln|1| = -1 + 0 = -1

Passo 5

Agora, calculamos a diferença entre os valores obtidos:
(-14 + ln 2) - (-1) = -14 + ln 2 + 1 = 34 + ln 2

Resposta

O valor da integral definida é 34 + ln 2.

Exercícios relacionados