Calcule as integrais definidas a seguir utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta derivadas e integrais, nos permitindo calcular integrais definidas encontrando uma antiderivada. Então, vamos precisar simplificar a expressão da integral e encontrar a antiderivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que estamos integrando:
. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
Passo 3
Agora que a função está simplificada para
, vamos encontrar a antiderivada de cada termo separadamente. Lembrando que a antiderivada de
é
, desde que
.
Para
:
Para
:
Então, a antiderivada completa é:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
Onde
é a antiderivada de
.
Então, substituímos
e
na antiderivada encontrada:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, calculamos a diferença entre os valores obtidos:
Resposta
O valor da integral definida é
.