Calcule as integrais definidas a seguir utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^3 23 r^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral1^3 23 r^2 dr usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso está dentro do tópico de cálculo integral, especificamente sobre integrais definidas e o teorema que conecta a derivada com a integral. Para resolver, vamos precisar encontrar uma antiderivada da função e então aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral para facilitar. A função dentro da integral é 23 r^2. Podemos reescrever isso como 23 r^-2 para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de 23 r^-2. Lembra que a antiderivada de r^n é r^n+1n+1, desde que n neq -1. Aqui, n = -2, então:
integral 23 r^-2 dr = 23 cdot r^-2+1-2+1 = 23 cdot r^-1-1 = -23 r^-1 = -23 cdot 1r

Passo 4

Com a antiderivada encontrada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
integrala^b f(r) dr = F(b) - F(a)
onde F(r) é a antiderivada de f(r).

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
-23 cdot 13 - (-23 cdot 11) = -29 + 23

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
-29 + 69 = 49

Resposta

49

Exercícios relacionados