Estude a convergência da série
sumn=1^infty n e^-n^2

Passo 1

A série que vamos estudar é sumn=1^infty n e^-n^2. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Para resolver, precisamos lembrar de testes como o teste da razão e o teste da integral, que são bem adequados quando aparece um fator exponencial.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo an = n e^-n^2, calculamos o quociente
an+1an = (n+1)e^-(n+1)^2n e^-n^2 = n+1n cdot e^-( (n+1)^2 - n^2 ) = l(1+1nr) e^-(2n+1)
Como e^-(2n+1) tende a zero muito mais rápido que (1+1/n) tende a 1, o limite desse quociente é
limntoinfty an+1an = 0 < 1
Pelo teste da razão, a série converge.

Passo 3

Para reforçar, podemos usar o teste da integral. Considere a função f(x)=x e^-x^2, que é positiva e decrescente para x>=1. Então analisamos
integral1^infty x e^-x^2 ,dx
Fazendo a substituição u = x^2, du = 2x,dx, obtemos
integral1^infty x e^-x^2 ,dx = 12 integral1^2^infty e^-u ,du = 12 l[ -e^-u r]1^infty = 12 e^-1,
que é finito. Então, pelo teste da integral, a série também converge.

Passo 4

Como ambos os testes indicam convergência e os termos são positivos, concluímos que a série sumn=1^infty n e^-n^2 converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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