Calcule as integrais definidas a seguir utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^2 e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^2 e^3x , dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e antiderivadas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada de uma função exponencial e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que significa uma integral definida. Basicamente, estamos buscando a área sob a curva da função e^3x entre x = 1 e x = 2. Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que para uma função contínua f(x) em [a, b], a integral definida integrala^b f(x) , dx pode ser calculada encontrando uma antiderivada F(x) de f(x) e então avaliando F(b) - F(a).

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de e^3x. Sabemos que a derivada de e^kx em relação a x é k e^kx. Então, para encontrar a antiderivada, fazemos o processo inverso: integrando e^3x nos dá 13 e^3x, porque ao derivar 13 e^3x, obtemos novamente e^3x.
integral e^3x , dx = 13 e^3x + C
Aqui, C é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada F(x) = 13 e^3x, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Avaliamos F(x) nos limites de integração e subtraímos:
integral1^2 e^3x , dx = F(2) - F(1) = 13 e^3 cdot 2 - 13 e^3 cdot 1
Simplificando os expoentes:
= 13 e^6 - 13 e^3

Passo 5

Vamos fatorar 13 para simplificar a expressão:
= 13 ( e^6 - e^3 )
Esse é o resultado da integral definida.

Resposta

A integral definida integral1^2 e^3x , dx é igual a 13 ( e^6 - e^3 ).

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