Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
f(x)=raiz[3]x^2-2 x^2 raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas da função $ f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x^{2} \sqrt{x} $. Para isso, vamos usar a matéria de derivadas, especificamente a regra do poder que nos ajuda a derivar funções com potências de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando expoentes fracionários. Isso facilita a aplicação da regra do poder.
  • $ \sqrt[3]{x^{2}} $ é o mesmo que $ x^{2/3} $
  • $ \sqrt{x} $ é o mesmo que $ x^{1/2} $
Então, a função fica:
raiz[3]x^2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos com $ x $ que estão juntos:
x
Então, a função simplificada é:
2x^2 cdot x^1/2 = 2x^2 + 1/2 = 2x^5/2

Passo 4

Vamos derivar cada termo usando a regra do poder, que diz que $ \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} $.
  • Para $ x^{2/3} $:
    ddxx^n = nx^n-1
  • Para $ -2x^{5/2} $:
    x^2/3

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 23x^-1/3 - 5x^3/2

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