(4) Calcule as integrais definidas (todas com mudança de variável)
integral0^pi / 2 sen^4 x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de sin^4 x cos x de 0 até pi/2. Esse tipo de problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição (ou mudança de variável). Para resolver isso, vamos usar uma técnica que facilita a integral transformando-a em uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que temos sin^4 x multiplicado por cos x. Se a gente deixar u = sin x, então a derivada de u em relação a x será du/dx = cos x. Isso é ótimo porque nosso integrando tem um cos x dx, que é exatamente du.

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição:
  • Definimos u = sin x
  • Então, du = cos x dx
Com essas substituições, nossa integral original fica mais simples:
integral0^pi / 2 sin^4 x cos x dx = integralu=0^u=1 u^4 du
Note que os limites de integração também mudam de acordo com a substituição:
  • Quando x = 0, u = sin 0 = 0
  • Quando x = pi/2, u = sin (pi/2) = 1

Passo 4

Agora, vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 du = u^55 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos considerar a constante de integração C. Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1.

Passo 5

Aplicando os limites:
[ u^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15 - 0 = 15

Resposta

O valor da integral definida é 15.

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