(4) Calcule as integrais definidas (todas com mudança de variável)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 até
. Esse tipo de problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição (ou mudança de variável). Para resolver isso, vamos usar uma técnica que facilita a integral transformando-a em uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que temos
multiplicado por
. Se a gente deixar
, então a derivada de
em relação a
será
. Isso é ótimo porque nosso integrando tem um
, que é exatamente
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição:
- Definimos
- Então,
Com essas substituições, nossa integral original fica mais simples:
Note que os limites de integração também mudam de acordo com a substituição:
- Quando
, - Quando
,
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos considerar a constante de integração
. Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1.
Passo 5
Aplicando os limites:
Resposta
O valor da integral definida é
.