(2 pt) Desenhe o gráfico e calcule a área:
A é o conjunto do plano limitado pela reta
e pelo gráfico
com
A é o conjunto do plano limitado pela reta
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da parábola y=−x²−2x+3 e calcular a área da região A limitada por essa curva, pela reta y=0 (e implicitamente pelas linhas verticais x=−1 e x=2), ou seja, a região entre a curva e o eixo x para −1≤x≤2. Vamos precisar da noção de área de uma região dada por integral e saber lidar com quando a curva fica abaixo do eixo x.
Passo 2
Para esboçar a curva y=−x²−2x+3, note que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x² é negativo). O vértice fica em x=−b/(2a)=−(−2)/(2·(−1))=−1, e y(−1)=4. As raízes estão em x²+2x−3=0 ⇒ x=1 e x=−3. Então no intervalo [−1,2] a parábola está acima do eixo x em [−1,1] e abaixo em [1,2].
Passo 3
Como a região muda de posição em relação ao eixo x, dividimos a área em duas partes: de x=−1 até x=1 a função está acima do eixo, e de x=1 até x=2 está abaixo. Usamos integral com valor absoluto para garantir área positiva: Área=∫_{−1}^{1}(−x²−2x+3)dx + ∫_{1}^{2}(0−(−x²−2x+3))dx.
Passo 4
Calculemos a primeira integral. Um antiderivado de −x²−2x+3 é
Então
Passo 5
Agora a segunda integral. Antiderivado de x²+2x−3 é
Logo
Somando as duas áreas:
.