(2 pt) Desenhe o gráfico e calcule a área:
A é o conjunto do plano limitado pela reta y=0 e pelo gráfico y=-x^2-2 x+3 com -1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da parábola y=−x²−2x+3 e calcular a área da região A limitada por essa curva, pela reta y=0 (e implicitamente pelas linhas verticais x=−1 e x=2), ou seja, a região entre a curva e o eixo x para −1≤x≤2. Vamos precisar da noção de área de uma região dada por integral e saber lidar com quando a curva fica abaixo do eixo x.

Passo 2

Para esboçar a curva y=−x²−2x+3, note que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x² é negativo). O vértice fica em x=−b/(2a)=−(−2)/(2·(−1))=−1, e y(−1)=4. As raízes estão em x²+2x−3=0 ⇒ x=1 e x=−3. Então no intervalo [−1,2] a parábola está acima do eixo x em [−1,1] e abaixo em [1,2].

Passo 3

Como a região muda de posição em relação ao eixo x, dividimos a área em duas partes: de x=−1 até x=1 a função está acima do eixo, e de x=1 até x=2 está abaixo. Usamos integral com valor absoluto para garantir área positiva: Área=∫_{−1}^{1}(−x²−2x+3)dx + ∫_{1}^{2}(0−(−x²−2x+3))dx.

Passo 4

Calculemos a primeira integral. Um antiderivado de −x²−2x+3 é
F(x)=−x^33−x^2+3x
Então
integral−1^1(−x^2−2x+3),dx=F(1)−F(−1)=l(−13−1+3r)−l(13−1−3r)=163

Passo 5

Agora a segunda integral. Antiderivado de x²+2x−3 é
G(x)=x^33+x^2−3x
Logo
integral1^2(x^2+2x−3),dx=G(2)−G(1)=l(83+4−6r)−l(13+1−3r)=73
Somando as duas áreas: 163+73=233.

Resposta

233

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