(2) Resolva as integrais indefinidas
integral 3 x^4+2 x^2+5x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
integral 3x^4 + 2x^2 + 5x^2 , dx
Aqui, estamos entrando no mundo do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais (quando um polinômio é dividido por outro polinômio). Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Para isso, dividimos cada termo do numerador por $ x^{2} $:
x^2
Isso simplifica para:
3x^4x^2 + 2x^2x^2 + 5x^2
Agora nossa integral fica:
3x^2 + 2 + 5x^2

Passo 3

Legal, agora temos uma soma de termos dentro da integral. Uma propriedade importante das integrais é que a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja:
integral (3x^2 + 2 + 5x^2) , dx = integral 3x^2 , dx + integral 2 , dx + integral 5x^2 , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Vamos começar com a primeira integral:
integral 3x^2 , dx
A regra que usamos aqui é a Regra da Potência, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde $ n \neq -1 $. Aplicando isso:
n neq -1

Passo 5

Agora, a segunda integral:
integral 2 , dx
Aqui, estamos integrando uma constante. A regra é que a integral de uma constante $ a $ em relação a $ x $ é:
a
Aplicando isso:
x

Passo 6

Por último, a terceira integral:
integral 5x^2 , dx
Primeiro, vamos reescrever $ \frac{5}{x^{2}} $ como $ 5x^{-2} $. Então, aplicamos novamente a Regra da Potência:
5x^2
E podemos reescrever isso como:
5x^-2

Resposta

Juntando todas as partes integradas, temos:
x^3 + 2x - 5x + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Então, a solução da integral é:
C

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