Resolva as seguintes inequações:
|sin x| >= 12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x tais que |sin x| >= 1/2. O conteúdo envolvido é inequações trigonométricas com valor absoluto, e vamos precisar usar a definição de |sin x| e as soluções de sin x = pm 1/2 no círculo trigonométrico.

Passo 2

A condição |sin x| >= 1/2 é equivalente ao sistema de duas inequações separadas: sin x >= 1/2 ou sin x <= -1/2.

Passo 3

Para resolver sin x >= 1/2, lembramos que sin x = 1/2 em x = pi/6 + 2kpi e x = 5pi/6 + 2kpi. Como no intervalo principal [0,2pi] a função seno é crescente de 0 a pi/2 e depois decrescente até pi, temos
sin x >= 1/2 Longrightarrow x in [pi/6 + 2kpi,,5pi/6 + 2kpi], kin Z

Passo 4

Para resolver sin x <= -1/2, usamos que sin x = -1/2 em x = 7pi/6 + 2kpi e x = 11pi/6 + 2kpi. No intervalo principal [0,2pi], o seno é negativo de pi a 2pi, e vale <= -1/2 entre esses dois pontos, logo
sin x <= -1/2 Longrightarrow x in [7pi/6 + 2kpi,,11pi/6 + 2kpi], kin Z

Passo 5

Combinando as duas faixas, a solução geral da inequação |sin x| >= 1/2 é a união dos dois conjuntos obtidos nos casos anterior e posterior.

Resposta

x in [pi/6 + 2kpi,,5pi/6 + 2kpi];cup;[7pi/6 + 2kpi,,11pi/6 + 2kpi], kin Z

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