Calcule as integrais definidas usando o T.F.C.
integralpi / 2^2 pi x sen x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integralpi / 2^2 pi x sin x , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como nesse caso, $ x $ e $ \sin x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $. Uma boa estratégia é deixar $ u $ ser a função que fica mais simples quando derivada, e $ dv $ ser o que sobra.
Vamos escolher:
  • $ u = x $ ⇒ $ du = dx $
  • $ dv = \sin x , dx $ ⇒ $ v = -\cos x $ (já que a integral de $ \sin x $ é $ -\cos x $)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sin x , dx = uv - integral v , du
Substituindo $ u, v, du $:
u, v, du
Simplificando:
= x (-cos x) - integral (-cos x) , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de $ \cos x $:
cos x
Então, substituindo de volta:
integral cos x , dx = sin x + C

Passo 5

Agora que encontramos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida entre $ \pi/2 $ e $ 2\pi $:
pi/2

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • Sabemos que $ \cos (2\pi) = 1 $ e $ \sin (2\pi) = 0 $.
  • Também, $ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Substituindo:
cos (2pi) = 1
sin (2pi) = 0
cos (pi2) = 0

Resposta

A integral definida vale $ -2\pi - 1 $.

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