Calcule as integrais definidas usando o T.F.C.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como nesse caso, $ x $ e $ \sin x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $. Uma boa estratégia é deixar $ u $ ser a função que fica mais simples quando derivada, e $ dv $ ser o que sobra.
Vamos escolher:
- $ u = x $ ⇒ $ du = dx $
- $ dv = \sin x , dx $ ⇒ $ v = -\cos x $ (já que a integral de $ \sin x $ é $ -\cos x $)
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo $ u, v, du $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de $ \cos x $:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora que encontramos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida entre $ \pi/2 $ e $ 2\pi $:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
- Sabemos que $ \cos (2\pi) = 1 $ e $ \sin (2\pi) = 0 $.
- Também, $ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Substituindo:
Resposta
A integral definida vale $ -2\pi - 1 $.