Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Temos uma partícula cuja posição é dada por
. O conteúdo aqui é derivada de função vetorial para achar a velocidade
, a aceleração
e, em seguida, a velocidade escalar, que é o módulo de
. Vamos usar derivação componente a componente e a definição de norma de vetores.
Passo 2
Para encontrar a velocidade, derivamos cada componente de
em relação a
, lembrando que
e
. Assim temos:
[\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}’(t)=\langle -2\sin t,,3,,2\cos t\rangle]
[\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}’(t)=\langle -2\sin t,,3,,2\cos t\rangle]
Passo 3
Agora derivamos
componente a componente para obter a aceleração, usando as mesmas regras de derivação:
[\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}’(t)=\langle -2\cos t,,0,,-2\sin t\rangle]
[\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}’(t)=\langle -2\cos t,,0,,-2\sin t\rangle]
Passo 4
Por fim, a velocidade escalar é o módulo de
. Calculamos a norma:
[|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(-2\sin t)2+32+(2\cos t)2}=\sqrt{4\sin2 t+9+4\cos^2 t}=\sqrt{4(\sin^2 t+\cos^2 t)+9}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}]
[|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(-2\sin t)2+32+(2\cos t)2}=\sqrt{4\sin2 t+9+4\cos^2 t}=\sqrt{4(\sin^2 t+\cos^2 t)+9}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}]
Resposta
Velocidade:
. Aceleração:
. Velocidade escalar:
.