Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t)=lang<= 2 cos t, 3 t, 2 sen trang<=

Passo 1

Temos uma partícula cuja posição é dada por r(t)=lang<= 2cos t,,3t,,2sin trang<=. O conteúdo aqui é derivada de função vetorial para achar a velocidade v(t), a aceleração a(t) e, em seguida, a velocidade escalar, que é o módulo de v(t). Vamos usar derivação componente a componente e a definição de norma de vetores.

Passo 2

Para encontrar a velocidade, derivamos cada componente de r(t) em relação a t, lembrando que ddt(cos t)=-sin t e ddt(sin t)=cos t. Assim temos:
[\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}’(t)=\langle -2\sin t,,3,,2\cos t\rangle]

Passo 3

Agora derivamos v(t) componente a componente para obter a aceleração, usando as mesmas regras de derivação:
[\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}’(t)=\langle -2\cos t,,0,,-2\sin t\rangle]

Passo 4

Por fim, a velocidade escalar é o módulo de v(t). Calculamos a norma:
[|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(-2\sin t)2+32+(2\cos t)2}=\sqrt{4\sin2 t+9+4\cos^2 t}=\sqrt{4(\sin^2 t+\cos^2 t)+9}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}]

Resposta

Velocidade: v(t)=lang<= -2sin t,,3,,2cos trang<=. Aceleração: a(t)=lang<= -2cos t,,0,,-2sin trang<=. Velocidade escalar: raiz13.

Exercícios relacionados