Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
integral d xx^4+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integraldxx^4+x^2. O conteúdo envolve frações parciais, então vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais para obter termos fáceis de integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador: x^4+x^2 = x^2,(x^2+1) Temos um fator linear repetido x^2 e um quadrático irreduzível x^2+1.

Passo 3

Montamos a forma de decomposição em frações parciais: 1x^2(x^2+1) = Ax + Bx^2 + Cx+Dx^2+1 Isso é o procedimento padrão para cada tipo de fator.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x^2+1) e obtemos a identidade: 1 = A,x,(x^2+1) + B,(x^2+1) + (Cx+D),x^2 Expandindo e agrupando termos em potências de x: 1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + Ax + B

Passo 5

Igualamos coeficientes ao polinômio constante 1 = 0x^3+0x^2+0x+1, obtendo o sistema:
  • A + C = 0
  • B + D = 0
  • A = 0
  • B = 1
    Daí A=0, B=1, C=0 e D=-1.

Passo 6

Substituindo na decomposição, o integrando vira: 1x^4+x^2 = 1x^2 - 1x^2+1 Logo,
- integral x^-2,dx = -x^-1 + C1
- integraldxx^2+1 = arctan x + C2.

Passo 7

Portanto a integral original é dada por: integraldxx^4+x^2 = -1x - arctan x + C

Resposta

-\tfrac{1}{x} - \arctan x + C

Exercícios relacionados