Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo envolve frações parciais, então vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais para obter termos fáceis de integrar.
Passo 2
Fatoramos o denominador:
Temos um fator linear repetido
e um quadrático irreduzível
.
Passo 3
Montamos a forma de decomposição em frações parciais:
Isso é o procedimento padrão para cada tipo de fator.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
e obtemos a identidade:
Expandindo e agrupando termos em potências de
:
Passo 5
Igualamos coeficientes ao polinômio constante
, obtendo o sistema:
-
-
-
-
Daí, , e .
Passo 6
Substituindo na decomposição, o integrando vira:
Logo,
-
- .
-
-
Passo 7
Portanto a integral original é dada por:
Resposta
-\tfrac{1}{x} - \arctan x + C