Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando frações parciais. O conteúdo aqui é integração de função racional com denominador quadrático elevado a uma potência, e vamos precisar decompor o numerador de modo a facilitar uma substituição do tipo
.
Passo 2
Primeiro, observe que o numerador pode ser fatorado como
. Como
, temos:
Agora separe a integral em duas partes:
$$
I=\int\frac{x{3}}{(x{2}+2)^{2}},dx
\quade\quad
\quade\quad
2\int\frac{x{3}}{(x{2}+2)^{3}},dx.$$
Para ambas, use a substituição , logo
ou
. Note também que
.
Para ambas, use a substituição
Passo 3
Cálculo de
:
Passo 4
Cálculo de
:
Primeiro
Multiplicando por 2:
Primeiro
Multiplicando por 2:
Passo 5
Somando
e voltando à variável
(ou seja,
), obtemos
Resposta
\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(x{2}+2\bigr)+\frac{1}{(x{2}+2)^{2}}+C