Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
integral x^5+4 x^3(x^2+2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^5+4x^3(x^2+2)^3,dx usando frações parciais. O conteúdo aqui é integração de função racional com denominador quadrático elevado a uma potência, e vamos precisar decompor o numerador de modo a facilitar uma substituição do tipo u = x^2+2.

Passo 2

Primeiro, observe que o numerador pode ser fatorado como x^5+4x^3=x^3(x^2+4). Como x^2+4=(x^2+2)+2, temos:
x^5+4x^3(x^2+2)^3=x^3l[(x^2+2)+2r](x^2+2)^3=x^3(x^2+2)^2+2,x^3(x^2+2)^3
Agora separe a integral em duas partes:
$$
I=\int\frac{x{3}}{(x{2}+2)^{2}},dx
\quade\quad
2\int\frac{x{3}}{(x{2}+2)^{3}},dx.$$
Para ambas, use a substituição I=integralx^3(x^2+2)^2,dx e 2integralx^3(x^2+2)^3,dx, logo u=x^2+2 ou du=2x,dx. Note também que x,dx=du/2.

Passo 3

Cálculo de I1=integralx^3(x^2+2)^2,dx:
I1=12integralu-2u^2,du =12integrall(u^-1-2u^-2r)du =12l(ln|u|+2u^-1r) =12ln u+1u

Passo 4

Cálculo de I2=2integralx^3(x^2+2)^3,dx:
Primeiro I2=-1u+1u^2
Multiplicando por 2:

Passo 5

Somando I1+I2 e voltando à variável x (ou seja, u=x^2+2), obtemos
I=12ln(x^2+2)+1u-1u+1u^2 =12ln(x^2+2)+1(x^2+2)^2+C

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(x{2}+2\bigr)+\frac{1}{(x{2}+2)^{2}}+C

Exercícios relacionados