Calcule as integrais delimitadas pela região D em cada item.
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d A, D é limitada por y=x, y=x^{3}, x \geqslant 0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+2y\right)\,dA,
onde a região D é limitada pelas curvas y=x, y=x^{3} e pela condição x\geqslant 0.
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • As duas curvas que limitam verticalmente D são y=x e y=x^{3}.
    • Há a restrição x\geqslant 0 que corta a região no semieixo não negativo.
    • Precisamos encontrar a região de integração (os limites) e então calcular a integral dupla do campo escalar x^{2}+2y sobre D.

Passo 2

Determinar onde as curvas se interceptam e qual delas é superior na região relevante.
  • Intersecções entre y=x e y=x^{3} vêm de resolver
x = x^{3}\quad\Longrightarrow\quad x^{3}-x=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-1)(x+1)=0.
  • As soluções são x=0,\;x=1,\;x=-1. Como a região exige x\geqslant 0, as interseções relevantes são x=0 e x=1.
  • Para saber qual curva está por cima entre 0 e 1, observe um valor intermediário, por exemplo x=\tfrac{1}{2}:
    • x=\tfrac{1}{2} x=\tfrac{1}{2} e x^{3}=\tfrac{1}{8}. Logo x>x^{3}.
  • Conclusão geométrica: para 0\leqslant x\leqslant 1 a curva y=x é a borda superior e y=x^{3} é a borda inferior. Portanto a região D é o conjunto
D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 1,\; x^{3}\leqslant y\leqslant x\}.

Passo 3

Escolher a ordem de integração e escrever a integral dupla apropriada.
  • Como a descrição de D em termos de x varia entre constantes e y varia entre funções de x, é natural integrar primeiro em y e depois em x.
  • A integral fica:
\iint_{D}\left(x^{2}+2y\right)\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x^{3}}^{y=x}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dy\right)dx.
  • Explicando a ideia: para cada x fixo entre 0 e 1, y percorre de y=x^{3} (baixo) até y=x (cima); integrando em y obtemos uma função de x que depois se integra em x.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. (Aqui reviso a técnica de integrar polinômios em y.)
  • Integração termo a termo: para uma constante em relação a y como x^{2}, tem-se \int x^{2}\,dy = x^{2}y. Para 2y, tem-se \int 2y\,dy = y^{2}.
  • Portanto, a primitiva em y de x^{2}+2y é
x^{2}y + y^{2}.
  • Avaliando entre y=x^{3} e y=x obtemos
\int_{y=x^{3}}^{y=x}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dy = \bigl[x^{2}y + y^{2}\bigr]_{y=x^{3}}^{y=x} = \bigl(x^{2}\cdot x + x^{2}\bigr) - \bigl(x^{2}\cdot x^{3} + (x^{3})^{2}\bigr).
  • Simplificando cada termo (explicando cada potência):
    • x^{2}\cdot x = x^{3}.
    • x^{2} permanece x^{2}.
    • x^{2}\cdot x^{3} = x^{5}.
    • (x^{3})^{2} = x^{6}.
  • Assim o integrando reduzido é
x^{3}+x^{2}-x^{5}-x^{6}.

Passo 5

Integrar a expressão em x de 0 a 1. (Vou mostrar como integrar cada potência de x e somar.)
  • A integral total será
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+x^{3}-x^{5}-x^{6}\bigr)\,dx.
  • Integramos termo a termo usando a regra \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aplicando:
    • \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
    • \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}.
    • \int x^{5}\,dx = \dfrac{x^{6}}{6}.
    • \int x^{6}\,dx = \dfrac{x^{7}}{7}.
  • Portanto a primitiva da soma é
\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{7}}{7}.
  • Avaliando de 0 a 1 (notando que em x=0 todos os termos anulam), obtemos o valor numérico
\left(\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{6}}{6}-\frac{1^{7}}{7}\right)-0 = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}.

Passo 6

Calcular a soma das frações e simplificar o resultado.
  • Vamos somar \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}. Para somar frações, encontro um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3,4,6,7 é 84.
  • Escrevendo cada fração com denominador 84:
    • \dfrac{1}{3}=\dfrac{28}{84} porque 84/3=28.
    • \dfrac{1}{4}=\dfrac{21}{84} porque 84/4=21.
    • \dfrac{1}{6}=\dfrac{14}{84} porque 84/6=14.
    • \dfrac{1}{7}=\dfrac{12}{84} porque 84/7=12.
  • Agora some e subtraia numeradores:
\frac{28}{84}+\frac{21}{84}-\frac{14}{84}-\frac{12}{84}=\frac{28+21-14-12}{84}=\frac{23}{84}.
  • O numerador 23 é primo, então a fração \dfrac{23}{84} já está em forma irredutível.

Passo 7

Checagem rápida e interpretação final.
  • Revisando os passos: determinou-se corretamente a região entre x^{3} e x para 0\leqslant x\leqslant 1, integrou-se primeiro em y (fácil porque as fronteiras em y eram expressões simples) e depois em x. Os cálculos das primitivas e a combinação das frações foram feitos explicitamente.
  • O resultado final é um número positivo razoável compatível com integrar uma função que tem termos positivos na maior parte da região.

Resposta

\dfrac{23}{84}

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