Calcule as integrais delimitadas pela região
em cada item.
é limitada por
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular a integral dupla
onde a região
é limitada pelas curvas
,
e pela condição
.
- Informações importantes extraídas do enunciado:
- As duas curvas que limitam verticalmente
são e . - Há a restrição
que corta a região no semieixo não negativo. - Precisamos encontrar a região de integração (os limites) e então calcular a integral dupla do campo escalar
sobre .
- As duas curvas que limitam verticalmente
Passo 2
Determinar onde as curvas se interceptam e qual delas é superior na região relevante.
- Intersecções entre
e vêm de resolver
- As soluções são
. Como a região exige , as interseções relevantes são e . - Para saber qual curva está por cima entre
e , observe um valor intermediário, por exemplo : -
dá e . Logo .
-
- Conclusão geométrica: para
a curva é a borda superior e é a borda inferior. Portanto a região é o conjunto
Passo 3
Escolher a ordem de integração e escrever a integral dupla apropriada.
- Como a descrição de
em termos de varia entre constantes e varia entre funções de , é natural integrar primeiro em e depois em . - A integral fica:
- Explicando a ideia: para cada
fixo entre e , percorre de (baixo) até (cima); integrando em obtemos uma função de que depois se integra em .
Passo 4
Calcular a integral interna em
. (Aqui reviso a técnica de integrar polinômios em
.)
- Integração termo a termo: para uma constante em relação a
como , tem-se . Para , tem-se . - Portanto, a primitiva em
de é
- Avaliando entre
e obtemos
- Simplificando cada termo (explicando cada potência):
-
. -
permanece . -
. -
.
-
- Assim o integrando reduzido é
Passo 5
Integrar a expressão em
de
a
. (Vou mostrar como integrar cada potência de
e somar.)
- A integral total será
- Integramos termo a termo usando a regra
para . Aplicando: -
. -
. -
. -
.
-
- Portanto a primitiva da soma é
- Avaliando de
a (notando que em todos os termos anulam), obtemos o valor numérico
Passo 6
Calcular a soma das frações e simplificar o resultado.
- Vamos somar
. Para somar frações, encontro um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de é . - Escrevendo cada fração com denominador
: -
porque . -
porque . -
porque . -
porque .
-
- Agora some e subtraia numeradores:
- O numerador
é primo, então a fração já está em forma irredutível.
Passo 7
Checagem rápida e interpretação final.
- Revisando os passos: determinou-se corretamente a região entre
e para , integrou-se primeiro em (fácil porque as fronteiras em eram expressões simples) e depois em . Os cálculos das primitivas e a combinação das frações foram feitos explicitamente. - O resultado final é um número positivo razoável compatível com integrar uma função que tem termos positivos na maior parte da região.