Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2} e y=4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=4.
Informações fornecidas:
  • Uma curva é y=x^{2} (parábola com vértice em (0,0)).
  • A outra curva é y=4 (reta horizontal).
  • A região limitada é o conjunto de pontos onde as duas curvas se intersectam e formam uma “janela” fechada.
    Não se resolve nada ainda; só organizamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas, resolvendo x^{2}=4.
x^{2}=4 \implies x=\pm 2.
Logo as curvas se encontram em x=-2 e x=2. Esses serão os limites de integração para a área horizontalmente.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) entre x=-2 e x=2. Avaliamos em um ponto simples, por exemplo x=0:
y=x^{2}\big|_{x=0}=0,\qquad y=4.
Como 0<4, a reta y=4 está acima da parábola y=x^{2} no intervalo considerado. Para calcular área entre curvas usamos sempre \text{topo} - \text{fundo}.

Passo 4

Montar a integral que dá a área: a fórmula é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{função superior} - \text{função inferior}\big)\,dx.Áçãçã
Aqui \text{função superior}=4çã e \text{função inferior}=x^{2}çã, com a=-2 e b=2. Portanto
\text{Área}=\int_{-2}^{2} \big(4-x^{2}\big)\,dx.Á
Observação didática: a função 4-x^{2} é par (ou seja, f(-x)=f(x)), então poderíamos usar simetria e escrever \text{Área}=2\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dxÁ. Isso às vezes simplifica cálculos, mas vou avaliar a integral completa diretamente para ficar explícito.

Passo 5

Calcular a antiderivada de 4-x^{2}. Usamos regras básicas:
  • \displaystyle\int c\,dx = c x para constante c.
  • \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (regra do poder), válida para n\neq -1.
Aplicando:
\int (4-x^{2})\,dx = \int 4\,dx - \int x^{2}\,dx = 4x - \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a antiderivada encontrada:
\text{Área}=\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}.Á
Calculamos o valor em x=2:
4\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3}=\frac{16}{3}.
Calculamos o valor em x=-2:
4\cdot(-2) - \frac{(-2)^{3}}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = \frac{-24+8}{3} = -\frac{16}{3}.

Passo 7

Subtrair os valores (valor em 2 menos valor em -2):
\text{Área}=\frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.Á
Interpretando: a área da região limitada entre y=x^{2} e y=4 é \dfrac{32}{3} unidades quadradas. (Se preferir ver a simetria: 2\int_{0}^{2}(4-x^{2})dx=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}, dá o mesmo resultado.)

Resposta

\dfrac{32}{3}

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