Determine as integrais (substituição trigonométrica): int \frac{d y}{\sqrt{9+y^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dy}{\sqrt{9+y^{2}}}.
Informações dadas: a variável de integração é y e o integrando é \dfrac{1}{\sqrt{9+y^{2}}}. O que se quer é uma antiderivada (uma expressão em y mais uma constante de integração).
Passo 2
Escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Para radicais do tipo \sqrt{a^{2}+y^{2}} a substituição padrão é
y = a\tan\theta.
Aqui a=3, portanto fazemos
y = 3\tan\theta.
Agora explico por que: usamos a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta, que transforma \sqrt{9+y^{2}} em algo envolvendo \operatorname{sec}\theta, removendo a raiz. Derivando a substituição obtemos
Resumindo: a integral em y virou uma integral simples em \theta, \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Passo 4
Agora precisamos integrar \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar o truque clássico (muito útil na prova): multiplicar e dividir por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar substituição. Escrevemos