Determine as integrais (substituição trigonométrica):
int \frac{d y}{\sqrt{9+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dy}{\sqrt{9+y^{2}}}.
Informações dadas: a variável de integração é y e o integrando é \dfrac{1}{\sqrt{9+y^{2}}}. O que se quer é uma antiderivada (uma expressão em y mais uma constante de integração).

Passo 2

Escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Para radicais do tipo \sqrt{a^{2}+y^{2}} a substituição padrão é
y = a\tan\theta.
Aqui a=3, portanto fazemos
y = 3\tan\theta.
Agora explico por que: usamos a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta, que transforma \sqrt{9+y^{2}} em algo envolvendo \operatorname{sec}\theta, removendo a raiz. Derivando a substituição obtemos
dy = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
E aplicando a identidade:
\sqrt{9+y^{2}}=\sqrt{9+9\tan^{2}\theta}=3\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=3\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituímos tudo na integral original. Temos
\int \frac{dy}{\sqrt{9+y^{2}}} =\int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{3\operatorname{sec}\theta} =\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Resumindo: a integral em y virou uma integral simples em \theta, \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos integrar \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar o truque clássico (muito útil na prova): multiplicar e dividir por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar substituição. Escrevemos
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Agora note que a derivada de \operatorname{sec}\theta+\tan\theta é
\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta,
ou seja, o numerador acima. Fazendo u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta resulta
du=(\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta,
logo a integral fica
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C.

Passo 5

Voltamos para a variável y. Lembrando que pela substituição temos \tan\theta=\dfrac{y}{3} e
\operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{9+y^{2}}}{3}.
Substituindo em \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C obtemos
\ln\left|\frac{\sqrt{9+y^{2}}}{3}+\frac{y}{3}\right|+C =\ln\left|\frac{\sqrt{9+y^{2}}+y}{3}\right|+C.
Como \ln\bigl(\tfrac{\cdot}{3}\bigr)=\ln(\cdot)-\ln 3 e -\ln 3 pode ser absorvido na constante de integração, simplificamos para
\ln\bigl|y+\sqrt{9+y^{2}}\bigr|+C.

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando \ln\bigl(y+\sqrt{9+y^{2}}\bigr) obtemos
\frac{1}{y+\sqrt{9+y^{2}}}\left(1+\frac{y}{\sqrt{9+y^{2}}}\right) =\frac{1}{\sqrt{9+y^{2}}},
que é exatamente o integrando original. Então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|y+\sqrt{9+y^{2}}\bigr|+C

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