2-(9,0) Calcule as integrais ou diga quando são divergentes:
a) integral0^1 x cdot ln x d x
d) integral0^2 d sraiz4-s^2
0-(3,0) Determine o valor de p para os quais a integral integral1^2 d xx(ln x)^p seja convergente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias: a) integral0^1 xln x,dx e d) integral0^2 dsraiz4-s^2, além de determinar para quais valores de p a integral integral1^2 dxx(ln x)^p converge. Vamos usar integração por partes, fórmula de arcsen e teste de p-integral.

Passo 2

Para a integral integral0^1 xln x,dx escolhemos u=ln x e dv=x,dx. Então du=dxx e v=x^22. Aplicando a fórmula de partes:
integral0^1 xln x,dx = x^22ln x|0^1 - integral0^1 x^22 cdot 1x,dx
O termo de fronteira x^22ln x vale 0 em ambos os limites, e sobra
-12 integral0^1 x,dx = -12 cdot 12 = -14

Passo 3

Na integral integral0^2 dsraiz4-s^2 há singularidade em s=2, mas é o tipo 1raiza-s que é integrável. Usamos a primitiva
integral dsraiz4-s^2 = arcsinl(s2r) + C
Logo
integral0^2 dsraiz4-s^2 = arcsinl(s2r)|0^2 = pi2

Passo 4

Para integral1^2 dxx(ln x)^p o problema está em xto1^+, pois ln1=0. Fazemos t=ln x, então dt=dx/x e os limites vão de t=0 a t=ln2. A integral vira
integral0^ln2 dtt^p
Este é o clássico p-integral em t=0, que converge se e somente se p<1.

Resposta

a) -\tfrac{1}{4}; d) \tfrac{\pi}{2}; converge para p<1.

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