Calcule as integrais ou diga quando são divergentes:
a)
d) Determine o valor de para os quais a integral seja convergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias: a) e d) , além de determinar para quais valores de a integral converge. Vamos usar integração por partes, fórmula de arcsen e teste de p-integral.
Passo 2
Para a integral escolhemos e . Então e . Aplicando a fórmula de partes:
O termo de fronteira x^22ln x vale 0 em ambos os limites, e sobra
-12 integral0^1 x,dx = -12 cdot 12 = -14
Passo 3
Na integral integral0^2 dsraiz4-s^2 há singularidade em s=2, mas é o tipo 1raiza-s que é integrável. Usamos a primitiva
integral dsraiz4-s^2 = arcsinl(s2r) + C
Logo
integral0^2 dsraiz4-s^2 = arcsinl(s2r)|0^2 = pi2
Passo 4
Para integral1^2 dxx(ln x)^p o problema está em xto1^+, pois ln1=0. Fazemos t=ln x, então dt=dx/x e os limites vão de t=0 a t=ln2. A integral vira
integral0^ln2 dtt^p
Este é o clássico p-integral em t=0, que converge se e somente se p<1.
Resposta
a) -\tfrac{1}{4}; d) \tfrac{\pi}{2}; converge para p<1.