Calcule as integrais duplas abaixo, esboçando a região de integração: \iint_{R} x^{2}+y d A, onde R é a região limitada à esquerda pelo eixo y, à direita pela parábola x=1-y^{2}, \mathrm{com}-1 \leq y \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}+y\,dA,
onde R é a região limitada à esquerda pelo eixo y (ou seja x=0) e à direita pela parábola x=1-y^{2}, com -1\le y\le 1.
Informações dadas e o que se pede:
A função a integrar é x^{2}+y.
A região R tem fronteiras: x=0 (eixo y), x=1-y^{2} (parábola), e as retas horizontais y=-1 e y=1.
Pede-se calcular a integral dupla sobre R e esboçar (descrever) a região de integração.
Passo 2
Esboço e interpretação da região (como desenhar mentalmente):
A curva x=1-y^{2} é uma parábola “abrindo para a esquerda”, com vértice em (1,0) e que intercepta o eixo x=0 em y=\pm1 (porque 1-y^{2}=0 dá y=\pm1).
A região R é o conjunto de pontos entre x=0 e x=1-y^{2}, para y variando de -1 a 1. Ou seja, para cada y\in[-1,1] pegamos os x entre 0 (à esquerda) e 1-y^{2} (à direita).
Escolha do método de integração: usar integração iterada com x interno e y externo é a escolha natural aqui, porque os limites em x são funções simples de y. Assim montamos a integral iterada:
Explicando a fórmula que vamos usar (Fubini e integrais iteradas): para uma função contínua em uma região do tipo descrito, a integral dupla sobre R pode ser calculada como uma integral iterada. Aqui isso significa integrar primeiro em x (mantendo y fixo) e depois em y. Agora calculo a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\,1-y^{2}} (x^{2}+y)\,dx.
Calculo termo a termo: a primitiva de x^{2} em x é \dfrac{x^{3}}{3} e a primitiva de y (como constante em relação a x) é y x. Portanto
Observação importante (economia de conta usando simetria): o segundo termo y(1-y^{2}) é uma função ímpar em y (porque é y multiplicado por uma função par), e o intervalo de integração é simétrico [-1,1]. Portanto a integral desse termo é zero:
Poderíamos também ter integrado primeiro em y trocando a ordem, usando para cada x os limites y\in[-\sqrt{1-x},\sqrt{1-x}] com x de 0 a 1; daria o mesmo resultado, mas a opção escolhida (integrar em x primeiro) foi mais direta aqui.
Usamos simetria (par/ímpar) para zerar rapidamente um termo e economizar cálculos — uma dica útil em provas: sempre verifique se o integrando tem paridade quando o intervalo é simétrico.