Calcule as integrais duplas abaixo, esboçando a região de integração:
\iint_{R} x^{2}+y d A, onde R é a região limitada à esquerda pelo eixo y, à direita pela parábola x=1-y^{2}, \mathrm{com}-1 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}+y\,dA,
onde R é a região limitada à esquerda pelo eixo y (ou seja x=0) e à direita pela parábola x=1-y^{2}, com -1\le y\le 1.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é x^{2}+y.
  • A região R tem fronteiras: x=0 (eixo y), x=1-y^{2} (parábola), e as retas horizontais y=-1 e y=1.
  • Pede-se calcular a integral dupla sobre R e esboçar (descrever) a região de integração.

Passo 2

Esboço e interpretação da região (como desenhar mentalmente):
  • A curva x=1-y^{2} é uma parábola “abrindo para a esquerda”, com vértice em (1,0) e que intercepta o eixo x=0 em y=\pm1 (porque 1-y^{2}=0 y=\pm1).
  • A região R é o conjunto de pontos entre x=0 e x=1-y^{2}, para y variando de -1 a 1. Ou seja, para cada y\in[-1,1] pegamos os x entre 0 (à esquerda) e 1-y^{2} (à direita).
    Escolha do método de integração: usar integração iterada com x interno e y externo é a escolha natural aqui, porque os limites em x são funções simples de y. Assim montamos a integral iterada:
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA = \int_{y=-1}^{1}\left(\int_{x=0}^{\,1-y^{2}} (x^{2}+y)\,dx\right)dy.

Passo 3

Explicando a fórmula que vamos usar (Fubini e integrais iteradas): para uma função contínua em uma região do tipo descrito, a integral dupla sobre R pode ser calculada como uma integral iterada. Aqui isso significa integrar primeiro em x (mantendo y fixo) e depois em y. Agora calculo a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\,1-y^{2}} (x^{2}+y)\,dx.
Calculo termo a termo: a primitiva de x^{2} em x é \dfrac{x^{3}}{3} e a primitiva de y (como constante em relação a x) é y x. Portanto
\int_{x=0}^{\,1-y^{2}} (x^{2}+y)\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}+yx\right]_{0}^{\,1-y^{2}} = \dfrac{(1-y^{2})^{3}}{3}+y(1-y^{2}).

Passo 4

Substituo o resultado da integral interna na integral externa em y:
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA = \int_{-1}^{1}\left(\dfrac{(1-y^{2})^{3}}{3}+y(1-y^{2})\right)dy.
Observação importante (economia de conta usando simetria): o segundo termo y(1-y^{2}) é uma função ímpar em y (porque é y multiplicado por uma função par), e o intervalo de integração é simétrico [-1,1]. Portanto a integral desse termo é zero:
\int_{-1}^{1} y(1-y^{2})\,dy = 0.
Assim sobra somente a parte par:
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA = \dfrac{1}{3}\int_{-1}^{1} (1-y^{2})^{3}\,dy.

Passo 5

Expandir o polinômio para integrar mais facilmente. Usando a fórmula do binômio:
(1-y^{2})^{3} = 1 - 3y^{2} + 3y^{4} - y^{6}.
Multiplicando por \dfrac{1}{3} obtemos o integrando:
\dfrac{1}{3}(1-y^{2})^{3} = \dfrac{1}{3} - y^{2} + y^{4} - \dfrac{1}{3}y^{6}.
Portanto
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA = \int_{-1}^{1}\left(\dfrac{1}{3} - y^{2} + y^{4} - \dfrac{1}{3}y^{6}\right)dy.

Passo 6

Integrar termo a termo. As funções no integrando são todas pares, então posso calcular duas vezes a integral de 0 a 1:
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA = 2\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{3} - y^{2} + y^{4} - \dfrac{1}{3}y^{6}\right)dy.
Calculo a primitiva (em y) de cada termo:
  • \int \dfrac{1}{3}\,dy = \dfrac{y}{3}.
  • \int -y^{2}\,dy = -\dfrac{y^{3}}{3}.
  • \int y^{4}\,dy = \dfrac{y^{5}}{5}.
  • \int -\dfrac{1}{3}y^{6}\,dy = -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{y^{7}}{7} = -\dfrac{y^{7}}{21}.
Avalio de 0 a 1:
\left(\dfrac{y}{3}-\dfrac{y^{3}}{3}+\dfrac{y^{5}}{5}-\dfrac{y^{7}}{21}\right)\Bigg|_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{21}.
Note que \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0, então resta
\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{21} = \dfrac{21-5}{105} = \dfrac{16}{105}.
Como havia um fator 2 à frente, o valor final é
2\cdot \dfrac{16}{105} = \dfrac{32}{105}.

Passo 7

Verificação rápida e comentário final:
  • Poderíamos também ter integrado primeiro em y trocando a ordem, usando para cada x os limites y\in[-\sqrt{1-x},\sqrt{1-x}] com x de 0 a 1; daria o mesmo resultado, mas a opção escolhida (integrar em x primeiro) foi mais direta aqui.
  • Usamos simetria (par/ímpar) para zerar rapidamente um termo e economizar cálculos — uma dica útil em provas: sempre verifique se o integrando tem paridade quando o intervalo é simétrico.

Resposta

\dfrac{32}{105}

Exercícios relacionados