Calcule as integrais duplas abaixo, esboçando a região de integração:
\iint_{R} x y d A, onde R é a região limitada inferiormente pela parábola y=x^{2}, superiormente pela reta y=x+1, \operatorname{com} 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x y\, dA,
onde a região R é limitada inferiormente pela parábola y=x^{2}, superiormente pela reta y=x+1 e ainda tem a condição 0 \leq x \leq 1.
Informações dadas:
  • Curva inferior: y=x^{2}.
  • Curva superior: y=x+1.
  • Intervalo para x: 0 \leq x \leq 1.
O que se pede:
  • Esboçar a região R.
  • Calcular a integral dupla \iint_{R} x y\, dA.

Passo 2

Esboço e compreensão da região (descrição verbal do esboço):
  • A parábola y=x^{2} abre para cima, passa por (0,0).
  • A reta y=x+1 tem coeficiente angular 1 e intercepto em y=1.
  • Para x entre 0 e 1, a reta está acima da parábola (verificando rapidamente: em x=0, x+1=1>0=x^{2}; em x=1, x+1=2>1=x^{2}). Portanto, a região R é o conjunto de pontos com 0\le x\le1 e, para cada x fixo, y variando de y=x^{2} (abaixo) até y=x+1 (acima).
  • Assim o esboço é: desenhar a parábola e a reta, marcar verticalmente a faixa x\in[0,1] e sombrear entre as duas curvas.

Passo 3

Escolha da ordem de integração e configuração da integral iterada:
  • Como o enunciado já fornece 0\le x\le1 e ambas as curvas estão expressas como y= função de x, é natural integrar primeiro em y e depois em x.
  • A integral iterada fica:
\iint_{R} x y\, dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x^{2}}^{\,x+1} x y \, dy\right) dx.
  • Observação didática: ao integrar em y com x fixo, x se comporta como constante; isso é aplicação direta do Teorema de Fubini para integrais iteradas quando a região é descrita por tais limites.

Passo 4

Cálculo da integral interna (integrar em y, tratando x como constante):
  • A primitiva de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Como há um fator x multiplicando, obtemos:
\int_{y=x^{2}}^{\,x+1} x y \, dy = x\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{y=x^{2}}^{\,y=x+1} = \frac{x}{2}\Big((x+1)^{2} - (x^{2})^{2}\Big).

Passo 5

Simplificação algébrica do integrando em x:
  • Expandindo os termos:
(x+1)^{2} = x^{2}+2x+1,\qquad (x^{2})^{2}=x^{4}.
  • Então
\frac{x}{2}\Big((x+1)^{2} - (x^{2})^{2}\Big) = \frac{x}{2}\big(x^{2}+2x+1 - x^{4}\big).
  • Distribuindo x/2:
\frac{x}{2}\big(-x^{4}+x^{2}+2x+1\big) = \frac{1}{2}\big(-x^{5}+x^{3}+2x^{2}+x\big).
  • Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral de polinômio em x:
\iint_{R} x y\, dA = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}\big(-x^{5}+x^{3}+2x^{2}+x\big)\, dx.

Passo 6

Integração em x término do cálculo:
  • Integrando termo a termo (cada termo é potência de x):
\int \big(-x^{5}\big)\,dx = -\frac{x^{6}}{6},\quad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\quad \int 2x^{2}\,dx = \frac{2x^{3}}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  • Aplicando o fator 1/2 e os limites 0 a 1:
\iint_{R} x y\, dA = \frac{1}{2}\left[-\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}.
  • Avaliando em x=1 (em x=0 todos os termos são zero):
\iint_{R} x y\, dA = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right).
  • Somando as frações com denominador comum 12:
-\frac{1}{6}=-\frac{2}{12},\quad \frac{1}{4}=\frac{3}{12},\quad \frac{2}{3}=\frac{8}{12},\quad \frac{1}{2}=\frac{6}{12}.
-\frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{8}{12}+\frac{6}{12}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\iint_{R} x y\, dA = \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{8}.

Resposta

\dfrac{5}{8}

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