Calcule as integrais duplas abaixo, esboçando a região de integração:
, onde
é a região limitada inferiormente pela parábola
, superiormente pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é limitada inferiormente pela parábola
, superiormente pela reta
e ainda tem a condição
.
Informações dadas:
- Curva inferior:
. - Curva superior:
. - Intervalo para
: .
O que se pede:
- Esboçar a região
. - Calcular a integral dupla
.
Passo 2
Esboço e compreensão da região (descrição verbal do esboço):
- A parábola
abre para cima, passa por . - A reta
tem coeficiente angular e intercepto em . - Para
entre e , a reta está acima da parábola (verificando rapidamente: em , ; em , ). Portanto, a região é o conjunto de pontos com e, para cada fixo, variando de (abaixo) até (acima). - Assim o esboço é: desenhar a parábola e a reta, marcar verticalmente a faixa
e sombrear entre as duas curvas.
Passo 3
Escolha da ordem de integração e configuração da integral iterada:
- Como o enunciado já fornece
e ambas as curvas estão expressas como função de , é natural integrar primeiro em e depois em . - A integral iterada fica:
- Observação didática: ao integrar em
com fixo, se comporta como constante; isso é aplicação direta do Teorema de Fubini para integrais iteradas quando a região é descrita por tais limites.
Passo 4
Cálculo da integral interna (integrar em
, tratando
como constante):
- A primitiva de
em relação a é . Como há um fator multiplicando, obtemos:
Passo 5
Simplificação algébrica do integrando em
:
- Expandindo os termos:
- Então
- Distribuindo
:
- Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral de polinômio em
:
Passo 6
Integração em
término do cálculo:
- Integrando termo a termo (cada termo é potência de
):
- Aplicando o fator
e os limites a :
- Avaliando em
(em todos os termos são zero):
- Somando as frações com denominador comum
:
- Multiplicando por
: