Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície indicada e inferiormente pelo plano z=0 sobre a região R.
z=x+y, onde R é o retângulo 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 3.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido que está limitado superiormente pela superfície z=x+y e inferiormente pelo plano z=0, sobre a região R no plano xy dada por
0 \leq x \leq 2,\qquad 0 \leq y \leq 3.
Informações dadas:
  • A função que dá a altura do sólido em cada ponto (x,y) é z(x,y)=x+y.
  • A base do sólido é o retângulo R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le 3\}.
  • O plano inferior é z=0.
    Pedido claro: calcular o volume do sólido acima de R e abaixo de z=x+y.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando um sólido está sobre uma região R no plano xy e a altura em cada ponto (x,y) é dada por uma função z=f(x,y) (com f(x,y)\ge 0 na região), o volume do sólido é a integral dupla da função altura sobre R. Em fórmula:
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um “pequeno pedaço de área” no plano xy. Na prática calculamos essa integral dupla como uma integral iterada, por exemplo integrando primeiro em x e depois em y (ou vice‑versa), dependendo do que for mais simples.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: f(x,y)=x+y e R é o retângulo com 0\le x\le 2 e 0\le y\le 3. Então podemos escrever o volume como a integral iterada
\text{Volume}=\int_{y=0}^{3}\int_{x=0}^{2} (x+y)\,dx\,dy.
Observação rápida sobre a ordem: escolhi integrar primeiro em x porque os limites são constantes e isto fica bem direto; integrar em y primeiro daria o mesmo resultado.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em x). Para \displaystyle\int_{0}^{2}(x+y)\,dx tratamos y como constante e integramos termo a termo:
\int (x+y)\,dx=\int x\,dx+\int y\,dx=\frac{1}{2}x^{2}+yx + C.
Avaliaremos entre x=0 e x=2:
\left[\frac{1}{2}x^{2}+yx\right]_{0}^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot 2^{2}+y\cdot 2\right)-\left(0+0\right)=\frac{1}{2}\cdot 4 +2y =2+2y.
Portanto a integral interna resulta em 2+2y.

Passo 5

Agora calculamos a integral externa (em y):
\text{Volume}=\int_{0}^{3} (2+2y)\,dy.
Integramos termo a termo:
\int (2+2y)\,dy = 2y + y^{2} + C.
Avaliaremos de 0 a 3:
\left[2y+y^{2}\right]_{0}^{3} = (2\cdot 3 + 3^{2}) - 0 = 6 + 9 = 15.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida: o volume do sólido é \;15 (unidades cúbicas). Método geral que vale para a prova: sempre que pedir volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R, escreva \iint_R f(x,y)\,dA, escolha uma ordem de integração conveniente, integre uma variável por vez tratando a outra como constante, e avalie os limites. Dá para fazer sem calculadora nessa classe de problemas retangulares.

Resposta

15

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