Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície indicada e inferiormente pelo plano
sobre a região
.
, onde
é o retângulo
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido que está limitado superiormente pela superfície
e inferiormente pelo plano
, sobre a região
no plano
dada por
Informações dadas:
- A função que dá a altura do sólido em cada ponto
é . - A base do sólido é o retângulo
. - O plano inferior é
.
Pedido claro: calcular o volume do sólido acima dee abaixo de .
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando um sólido está sobre uma região
no plano
e a altura em cada ponto
é dada por uma função
(com
na região), o volume do sólido é a integral dupla da função altura sobre
. Em fórmula:
Aqui
representa um “pequeno pedaço de área” no plano
. Na prática calculamos essa integral dupla como uma integral iterada, por exemplo integrando primeiro em
e depois em
(ou vice‑versa), dependendo do que for mais simples.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
e
é o retângulo com
e
. Então podemos escrever o volume como a integral iterada
Observação rápida sobre a ordem: escolhi integrar primeiro em
porque os limites são constantes e isto fica bem direto; integrar em
primeiro daria o mesmo resultado.
Passo 4
Calcular a integral interna (integração em
). Para
tratamos
como constante e integramos termo a termo:
Avaliaremos entre
e
:
Portanto a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora calculamos a integral externa (em
):
Integramos termo a termo:
Avaliaremos de
a
:
Passo 6
Interpretação final e dica rápida: o volume do sólido é
(unidades cúbicas). Método geral que vale para a prova: sempre que pedir volume sob uma superfície
sobre uma região
, escreva
, escolha uma ordem de integração conveniente, integre uma variável por vez tratando a outra como constante, e avalie os limites. Dá para fazer sem calculadora nessa classe de problemas retangulares.