Calcule as integrais iteradas abaixo.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral dupla, que é tipo integrar uma função em duas direções, primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. A função que vamos integrar é $ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $, e os limites de integração para $ y $ vão de 1 a 2, e para $ x $ de 1 a 4. Vamos usar o conceito de integrais iteradas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a $ y $. Isso significa que vamos tratar $ x $ como uma constante enquanto integramos em $ y $.
A função que vamos integrar é $ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $.
Integrando termo a termo:
- $ \int \frac{x}{y} , dy = x \int \frac{1}{y} , dy = x \ln|y| $
- $ \int \frac{y}{x} , dy = \frac{1}{x} \int y , dy = \frac{1}{x} \cdot \frac{y^2}{2} = \frac{y^2}{2x} $
Então, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os limites de $ y $ de 1 a 2 na expressão que encontramos:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a $ x $, com limites de 1 a 4:
Vamos integrar cada termo separadamente:
- $ \int x \ln 2 , dx = \ln 2 \int x , dx = \ln 2 \cdot \frac{x^2}{2} $
- $ \int \frac{3}{2x} , dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x} , dx = \frac{3}{2} \ln|x| $
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de $ x $ de 1 a 4:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então simplificando:
Sabemos também que $ \ln 4 = 2 \ln 2 $, então:
Somando os termos:
Resposta
A integral dupla vale $ \frac{21}{2} \ln 2 $.