Para as funções abaixo faça um esboço do seu gráfico, determinando para isso seu domínio, imagem e curvas de nível.
Passo 1
Estamos analisando a função f(x,y)=8−x²−2y, que é um polinômio em duas variáveis; vamos precisar entender domínio, imagem, curvas de nível e depois esboçar o gráfico tridimensional.
Passo 2
Como polinômio em x e y, f está definida para todo par (x,y)∈ℝ². Logo, Domínio(f)=ℝ².
Passo 3
Para ver a Imagem(f), note que, variando y, a expressão −2y assume qualquer valor em ℝ. Se y→−∞, −2y→+∞ e f→+∞; se y→+∞, −2y→−∞ e f→−∞. Portanto a Imagem(f)=ℝ.
Passo 4
Curvas de nível são os conjuntos onde f(x,y)=k (constante). Resolvendo 8−x²−2y=k obtemos 2y=8−k−x² e
Cada nível k gera uma parábola no plano xy, de concavidade para baixo e vértice em (0,(8−k)/2).
Passo 5
Para esboçar o gráfico 3D: veja as seções em planos coordenados. Em y=0 temos a parábola z=8−x² no plano xz. Em x=0 aparece a reta z=8−2y no plano yz. Para cada x constante, a interseção é uma linha oblíqua em yz, e para cada y constante o corte é uma parábola em xz. Isso mostra que a superfície é um cilindro parabólico oblíquo, formado por essas parábolas deslocadas ao longo de y.
Resposta
Domínio: ℝ²
Imagem: ℝ
Curvas de nível: para cada k∈ℝ, y=−½x²+(8−k)/2 (família de parábolas voltadas para baixo)
O gráfico é um cilindro parabólico oblíquo, com cortes em y=const dando parábolas z=8−2y−x² e cortes em x=const dando retas z=const−2y.
Imagem: ℝ
Curvas de nível: para cada k∈ℝ, y=−½x²+(8−k)/2 (família de parábolas voltadas para baixo)
O gráfico é um cilindro parabólico oblíquo, com cortes em y=const dando parábolas z=8−2y−x² e cortes em x=const dando retas z=const−2y.