Calcule as integrais duplas abaixo.
integral0^8 integralraiz[3]x^2 1y^4+1 d y d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla I = integral0^8 integralraiz[3]x^2 1y^4+1,dy,dx. O conteúdo aqui é integral dupla e vamos precisar usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e simplificar.

Passo 2

Para trocar a ordem, vamos descrever a região D no plano (x,y). O enunciado dá 0 ≤ x ≤ 8 e raiz[3]x <= y <= 2. A condição y >= raiz[3]x equivale a x <= y^3. Como x parte de 0, concluímos que y vai de 0 até 2 e, para cada y, x vai de 0 até y^3. Assim, daí segue que a integral troca para
I = integraly=0^2 integralx=0^y^3 1y^4+1,dx,dy

Passo 3

Como a função não depende de x, a integral interna em x é bem simples:
integral0^y^3 1y^4+1,dx = y^3y^4+1
Logo
I = integral0^2 y^3y^4+1,dy

Passo 4

Para resolver essa integral em y, usamos a substituição t = y^4+1, então dt = 4y^3,dy, ou seja, y^3,dy = tfracdt4. Quando y=0, t=1, e quando y=2, t=17. Assim:
I = integral1^17 1t cdot dt4 = 14 integral1^17 dtt = 14 [ln t]1^17 = 14 ln 17

Resposta

14ln 17

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